a) Vì \(\triangle ABC\) nội tiếp đường tròn đường kính BC nên \(\widehat{BAC}=90^{\circ}\)

Ta có:

\(AH \perp BC \Rightarrow \triangle AHB\) vuông tại H

\(\rArr\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90^{\circ}\)

Mà \(\widehat{ABH} + \widehat{ACH} = 90^\circ\) (do \(\triangle ABC\) vuông tại A)

\(\rArr\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\)

Xét \(\triangle HAD\) , có:

\(HA=HD\) (gt)

\(\Rightarrow \triangle HAD\) cân tại H

\(\rArr\widehat{HAD}=\widehat{HDA}\)

Mặt khác, \(\widehat{HAE} = 90^\circ - \widehat{HAD}\) và \(\widehat{HEA} = 90^\circ - \widehat{HDA}\) (do \(\triangle ADE\) có \(\widehat{A}=90^{\circ})\)

\(\Rightarrow\widehat{HAE}=\widehat{HEA}\)

\(\Rightarrow\triangle HAE\) cân tại H

\(\Rightarrow HA=HE\)

Từ đó, suy ra H là trung điểm của DE.(đpcm)

Gọi F là giao điểm của OA và DE.

\(\triangle OAC\) cân tại O (\(OA = OC = R\) )

Nên \(\widehat{OAC} = \widehat{OCA}\)

Ta có:

\(\widehat{OAF} + \widehat{ADF} = \widehat{OAC} + \widehat{HDA} = \widehat{OCA} + \widehat{HAD}\)

Trong \(\triangle AHC\) vuông tại H, có:

\(\widehat{HAC} + \widehat{HCA} = 90^\circ\)

Vì \(HA = HD \Rightarrow \widehat{HAD} = \widehat{HDA}\) , mà A, D, C thẳng hàng nên \(\widehat{HAD} = \widehat{HAC}\)

\(\Rightarrow \widehat{OAF} + \widehat{ADF} = \widehat{HCA} + \widehat{HAC} = 90^\circ\)

Xét \(\triangle ADF\) có tổng hai góc \(90^\circ \Rightarrow \widehat{AFD} = 90^\circ\)

Vậy \(OA \perp DE\) (đpcm)

b) Xét \(\triangle ADE\) có:

AF là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến.

\(\rArr\triangle ADE\) cân tại A.

\(\rArr AD=AE\) và \(\widehat{AED} = \widehat{ADE}\)

\(\rarr\widehat{AEK}=\widehat{ADI}\)

Xét \(\triangle AKE\) và \(\triangle AID\) , có:

\(\widehat{EAK} = \widehat{DAI}\) (góc chung)

\(AE = AD\) (cmt)

\(\widehat{AEK} = \widehat{ADI}\) (cmt)

\(\Rightarrow \triangle AKE = \triangle AID\) (g-c-g)

Từ đó suy ra \(\triangle AKE \sim \triangle AID\) theo tỉ số 1.

c) \(\triangle AKE = \triangle AID \Rightarrow AK = AI\) (câu b)

Xét \(\triangle AIK\) , có:

\(AK = AI\)

Nên \(\triangle AIK\) cân tại A.

Xét tam giác ABC vuông tại A, có:

\(\frac{AI}{AB}=\frac{AK}{AC}\) (các hệ thức lượng và tỉ số đồng dạng).

Vì \(\frac{AI}{AB}=\frac{AK}{AC}\)

Nên suy ra \(KI // AB\) (đpcm)

Ta có:

\(S_{ABKC} = S_{ABC} + S_{AKC}\)

Gọi \(OH=x(0\le x<R)\) .

Ta có:

\(HB = R - x\)

\(HC = R + x\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC (với đường cao AH) có:

\(AH^2=HB\cdot HC=(R-x)(R+x)=R^2-x^2\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{R^2 - x^2}\)

Trong tam giác vuông AHC , ta có:

\(AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} = \sqrt{(R^2 - x^2) + (R+x)^2} = \sqrt{2R^2 + 2Rx}\)

Ta cũng có: \(AB = \sqrt{2R^2 - 2Rx}\)

xét tam giác AHC, có:

\(\tan\widehat{ACH}=\frac{AH}{HC}=\frac{\frac{R\sqrt{3}}{2}}{\frac{3R}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow\widehat{ACH}=30^{\circ}\)

\(\Rightarrow \widehat{ABC} = 60^\circ\)

Khi \(\widehat{ACB} = 30^\circ\) và \(\widehat{ABC} = 60^\circ\) , các giá trị cạnh là:

- \(AC=BC.\cos30^{\circ}=2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}\)

- \(AB=BC.\sin30^{\circ}=2R\cdot\frac{1}{2}=R\)

- \(S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R\sqrt{3} = \frac{R^2\sqrt{3}}{2}\)

Xác suất để người thứ 100 ngồi vào đúng ghế số 100 là:

Tổng số tiền siêu thị nhập hàng là:

\(50.15=750\) (triệu đồng)

Giá bán một chiếc tivi trong tháng đầu (lãi 30% so với giá vốn) là:

\(15+(15.30\%)=19,5\) (triệu đồng)

Số tiền thu được khi bán 30 chiếc tivi là:

\(30.19,5=585\) (triệu đồng)

Số tivi còn lại là:

50 - 30 = 20 (chiếc)

Giá bán một chiếc tivi trong tháng thứ hai (bằng 70% giá bán tháng đầu) là:

\(19,5.70\%=13,65\) (triệu đồng)

Số tiền thu được khi bán 20 chiếc còn lại là:

\(20\times13,65=273\) (triệu đồng)

Tổng số tiền thu về sau 2 tháng là:

\(585+273=858\) (triệu đồng)

Vì \(858 > 750\) nên siêu thị đó có lãi.

Số tiền lãi là:

\(858-750=108\) (triệu đồng)

Vậy Siêu thị lãi 108 triệu đồng.

Giả sử \(2n+1 = a^2\) và \(3n+1 = b^2\) với \(a,b\in\mathbb{N}.\)

Vì \(2n+1\) là số lẻ nên \(a^2\) là số lẻ

\(\rArr\) a là số lẻ

Đặt \(a = 2k+1\) , ta có:

\(2n+1 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1\)

\(\Rightarrow 2n = 4k(k+1)\)

\(\Rightarrow n = 2k(k+1)\)

Vì \(k(k+1)\) là tích hai số nguyên liên tiếp nên \(\vdots2\)

\(\Rightarrow n \vdots (2 \times 2) \Rightarrow n \vdots 4\)

Ta có :

\(n \vdots 4\)

Và \(n\) chẵn

Nên \(3n+1\) lẻ

\(\rArr b\) lẻ

Số chính phương lẻ chia cho \(8\) luôn dư \(1\) . Ta có:

\(b^2\equiv1\pmod{8}\)

\(3n+1\equiv1\pmod{8}\)

\(3n\equiv0\pmod{8}\)

Vì \(ƯCLN(3,8)=1\rArr n\vdots8\)

Ta có:

\(a^2+b^2=(2n+1)+(3n+1)=5n+2\)

\(\rArr a^2+b^2\equiv2\pmod{5}\)

Ta có:

- Nếu \(a^2\equiv0\pmod{5}\) và \(b^2\equiv2\pmod{5}\) (loại)

- Nếu \(a^2\equiv1\pmod{5}\) và \(b^2\equiv1\pmod{5}\) thì \(a^2+b^2\equiv2\pmod{5}\) (tm)

Ta lại có:

\(2n+1\equiv1\pmod{5}\Rightarrow2n\vdots5\Rightarrow n\vdots5\)

Vậy \(n\vdots5.\)

Vì \(n \vdots 8\) và \(n \vdots 5\)

Mà \(ƯCLN(8, 5) = 1\)

Nên \(n\) phải chia hết cho 8 . 5 = 40.(đpcm)\(\)

Tổng số vỏ lon của hai tổ là:

120 + 120 = 240 (vỏ lon)

Khi tổ 2 chuyển đi 1/5 số vỏ lon của mình, thì tổ 2 còn lại là:

\(1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\) (số vỏ lon lúc đó)

Trước khi chuyển, số vỏ lon của tổ 2 là:

\(120 : \frac{4}{5} = 150\) (vỏ lon)

Số vỏ lon tổ 2 đã chuyển cho tổ 1 là:

150 - 120 = 30 (vỏ lon)

Trước khi nhận 30 vỏ lon này, số vỏ lon của tổ 1 là:

120 - 30 = 90 (vỏ lon)

Khi tổ 1 chuyển đi 1/3 số vỏ lon của mình, thì tổ 1 còn lại:

\(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) (số vỏ lon ban đầu)

Số vỏ lon ban đầu của tổ 1 là:

\(90 : \frac{2}{3} = 135\) (vỏ lon)

Số vỏ lon ban đầu của tổ 2 là:

150 - 45 = 105 (vỏ lon)

\(\rArr\) Tổ 1 quyên góp được: 135 vỏ lon.

\(\rArr\) Tổ 2 quyên góp được: 105 vỏ lon.

Trong 1 giờ, xe thứ nhất đi được:

Trong 1 giờ, xe thứ hai đi được:

\(1 : 4 = \frac{1}{4} \text{ (quãng đường AB)}\)

Trong 1 giờ, cả hai xe đi được:

\(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}=\frac{9}{20}\text{ (quãng đường AB)}\)

Thời gian để hai xe gặp nhau là:

\(1 : \frac{9}{20} = \frac{20}{9} \text{ (giờ)}\)

Đến chỗ gặp nhau, xe thứ nhất đi được là:

\(\frac{20}{9}\times\frac{1}{5}=\frac{4}{9}\text{ (quãng đường AB)}\)

Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai đi được là:

\(\frac{20}{9}\times\frac{1}{4}=\frac{5}{9}\text{ (quãng đường AB)}\)

Hiệu phần quãng đường xe thứ hai và xe thứ nhất đã đi là:

\(\frac{5}{9}-\frac{4}{9}=\frac{1}{9}\text{ (quãng đường AB)}\)

Độ dài quãng đường AB là:

\(20 : \frac{1}{9} = 180 \text{ (km)}\)

Vậy độ dài quãng đường AB là 180 km.

Ta có:

\(97\equiv7\pmod{10}\)

Nên \(97^{97}\equiv7^{97}\pmod{10}.\)

Mà lũy thừa của \(7^4=2401\equiv1\pmod{10}\)

Ta lại có:

\(97=4.24+1.\)

Do đó,

\(97^{97}\equiv7^{97}\equiv7^{4\cdot24+1}\equiv(7^4)^{24}\cdot7^1\pmod{10}\)

\(97^{97}\equiv1^{24}\cdot7\equiv1\cdot7\equiv7\pmod{10}\)

Vậy số dư của \(97^{97}\) khi chia cho10 là 7.

Khi đi với vận tốc 25 km/giờ thì đến chậm hơn khi đi với vận tốc 30 km/giờ là:

Tỉ số giữa vận tốc 25 km/giờ và 30 km/giờ là:

\(25 : 30 = \frac{5}{6}\)

Hiệu số phần bằng nhau là:

6 - 1 = 5 (phần)

Quãng đường từ thành phố về quê dài là:

\(30 \times 5 = 150 \text{ (km)}\)

Đáp số: 150 (km)

PTHH:

Số mol Al đem dùng là:

\(\frac{2,7}{27}=0,1(mol).\)

Khối lượng mol của \(AlCl_3\) là:

\(27+35,5\times3=133,5\) (g/mol)

Khối lượng \(AlCl_3\) theo lý thuyết là:

\(0,1\times133,5=13,35(gam).\)

Hiệu suất phản ứng được tính bằng tỉ số giữa khối lượng thực tế thu được và khối lượng tính theo lý thuyết là:

Vậy hiệu suất phản ứng là 90%.

Thời gian từ lúc xuất phát đến lúc tới nơi là:

10 giờ 30 phút - 8 giờ 45 phút = 1 giờ 45 phút.

Thời gian ô tô thực tế di chuyển là:

1 giờ 45 phút - 30 phút = 1 giờ 15 phút.

Đổi 1 giờ 15 phút = 1,25 giờ.

Vận tốc ô tô là:

220 : 1,25 = 176 (km/h).

Vận tốc xe máy bằng 25% vận tốc ô tô, nên ta có:

Đáp số: Vận tốc của xe máy là 44 km/h.