Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2
(
a
2
b
2
+
b
2
c
2
+
c
2
a
2
)
≥
2
(
c
b
+
b
a
+
a
c
)
2(
b
2

a
2


+
c
2

b
2


+
a
2

c
2


)≥2(
b
c

+
a
b

+
c
a

)

Xét dấu hiệu
2
(
a
2
b
2
+
b
2
c
2
+
c
2
a
2
)
−
2
(
c
b
+
b
a
+
a
c
)
2(
b
2

a
2


+
c
2

b
2


+
a
2

c
2


)−2(
b
c

+
a
b

+
c
a

)

=
(
a
b
−
b
c
)
2
+
(
b
c
−
c
a
)
2
+
(
c
a
−
a
b
)
2
≥
0
=(
b
a

−
c
b

)
2
+(
c
b

−
a
c

)
2
+(
a
c

−
b
a

)
2
≥0

Từ đó suy ra đpcm

Nếu
x
<
1
x<1 thì
x
8
−
x
7
+
x
2
−
x
+
1
x
8
−x
7
+x
2
−x+1

=
x
8
+
x
2
(
1
−
x
5
)
+
(
1
−
x
)
>
0
=x
8
+x
2
(1−x
5
)+(1−x)>0.

Nếu
x
≥
1
x≥1 thì
x
8
−
x
7
+
x
2
−
x
+
1
x
8
−x
7
+x
2
−x+1

=
x
7
(
x
−
1
)
+
x
(
x
−
1
)
+
1
>
0
=x
7
(x−1)+x(x−1)+1>0

Nhân hai vế bất đẳng thức cần chứng minh với
x
+
y
x+y ta được bất đẳng thức tương đương là

x
5
+
y
5
>
(
x
2
+
y
2
)
(
x
+
y
)
x
5
+y
5
>(x
2
+y
2
)(x+y) (1)

Từ giả thiết
x
>
2
x>
2

suy ra
x
2
>
2
x
2
>2 suy ra
x
5
>
2
x
3
x
5
>2x
3
, từ đó

x
5
+
y
5
>
2
(
x
3
+
y
3
)
x
5
+y
5
>2(x
3
+y
3
)

=
2
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
(
x
+
y
)
=2(x
2
−xy+y
2
)(x+y)

=
(
x
−
y
)
2
+
(
x
2
+
y
2
)
(
x
+
y
)
≥
(
x
2
+
y
2
)
(
x
+
y
)
=(x−y)
2
+(x
2
+y
2
)(x+y)≥(x
2
+y
2
)(x+y) suy ra (1), điều phải chứng minh.

Chú ý rằng
1
+
4
=
2
+
3
1+4=2+3, ta đặt
t
=
(
x
−
1
)
(
x
−
4
)
=
x
2
−
5
x
+
4
t=(x−1)(x−4)=x
2
−5x+4 thì

(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
=
x
2
−
5
x
+
6
=
t
+
2
(x−2)(x−3)=x
2
−5x+6=t+2

từ đó
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
(
x
−
4
)
+
1
(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)+1

=
t
(
t
+
2
)
+
1
=
t
2
+
2
t
+
1
=
(
t
+
1
)
2
≥
0
=t(t+2)+1=t
2
+2t+1=(t+1)
2
≥0

Dẳng thức chỉ xảy ra khi
t
=
−
1
t=−1

hay
x
2
−
5
x
+
4
=
−
1
x
2
−5x+4=−1

x
2
−
5
x
+
5
=
0
x
2
−5x+5=0

x
=
5
±
5
2
x=
2
5±
5



.

Vế trái bất đẳng thức cần chứng minh là
x
6
(
x
−
1
)
2
+
3
(
x
4
−
1
2
)
2
+
(
x
−
1
2
)
2
x
6
(x−1)
2
+3(x
4
−
2
1

)
2
+(x−
2
1

)
2
.

Từ đó suy ra đpcm.

Giả thiết đã cho tương đương với
1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
a
b
+
1
b
c
+
1
c
a
=
6
a
1

+
b
1

+
c
1

+
ab
1

+
bc
1

+
ca
1

=6. (1)

Ta có
(
1
a
−
1
)
2
≥
0
(
a
1

−1)
2
≥0

1
a
2
+
1
≥
2
a
a
2

1

+1≥
a
2

nên

1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
≥
2
(
1
a
+
1
b
+
1
c
)
−
3
a
2

1

+
b
2

1

+
c
2

1

≥2(
a
1

+
b
1

+
c
1

)−3 (2)

Lại có
1
a
2
+
1
b
2
≥
2
a
b
a
2

1

+
b
2

1

≥
ab
2

nên

2
(
1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
)
≥
2
(
1
a
b
+
1
b
c
+
1
c
a
)
2(
a
2

1

+
b
2

1

+
c
2

1

)≥2(
ab
1

+
bc
1

+
ca
1

) (3)

Cộng (2) và (3) theo vế và sử dụng (1) ta có

3
(
1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
)
≥
2
(
1
a
b
+
1
b
c
+
1
c
a
+
1
a
+
1
b
+
1
c
)
−
3
=
2.6
−
3
=
9
3(
a
2

1

+
b
2

1

+
c
2

1

)≥2(
ab
1

+
bc
1

+
ca
1

+
a
1

+
b
1

+
c
1

)−3=2.6−3=9

Suy ra
1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
≥
3
a
2

1

+
b
2

1

+
c
2

1

≥3.

Ta có
x
2
+
y
2
+
x
y
−
3
x
−
3
y
+
3
x
2
+y
2
+xy−3x−3y+3

=
(
x
−
1
)
2
+
(
y
−
1
)
2
+
x
y
+
1
−
x
−
y
=(x−1)
2
+(y−1)
2
+xy+1−x−y

=
(
x
−
1
)
2
+
(
y
−
1
)
2
+
(
x
−
1
)
(
y
−
1
)
≥
0
=(x−1)
2
+(y−1)
2
+(x−1)(y−1)≥0

(do
a
2
+
a
b
+
b
2
=
1
4
(
4
a
2
+
4
a
b
+
4
b
2
)
=
1
4
(
2
a
+
b
)
2
+
3
4
b
2
≥
0
a
2
+ab+b
2
=
4
1

(4a
2
+4ab+4b
2
)=
4
1

(2a+b)
2
+
4
3

b
2
≥0)

Tcó
a
2
−
a
b
+
b
2
=
1
4
(
a
+
b
)
2
+
3
4
(
a
−
b
)
2

≥
1
2
(
a
+
b
)
a
2
−ab+b
2


=
4
1

(a+b)
2
+
4
3

(a−b)
2


≥
2
1

(a+b).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a
=
b
a=b.

Trương tự
b
2
−
b
c
+
c
2
≥
1
2
(
b
+
c
)
b
2
−bc+c
2


≥
2
1

(b+c) và
c
2
−
c
a
+
c
a
≥
1
2
(
c
+
a
)
c
2
−ca+ca

≥
2
1

(c+a).

Từ đó
a
2
−
a
b
+
b
2
+
b
2
−
b
c
+
c
2
+
c
2
−
c
a
+
a
2
≥
1
2
(
a
+
b
+
b
+
c
+
c
+
a
)
a
2
−ab+b
2


+
b
2
−bc+c
2


+
c
2
−ca+a
2


≥
2
1

(a+b+b+c+c+a)

=
(
a
+
b
+
c
)
=
3
=(a+b+c)=3

Vậy
a
2
−
a
b
+
b
2
+
b
2
−
b
c
+
c
2
+
c
2
−
c
a
+
a
2
≥
3
a
2
−ab+b
2


+
b
2
−bc+c
2


+
c
2
−ca+a
2


≥3.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a
=
b
=
c
=
a
+
b
+
c
3
=
1
a=b=c=
3
a+b+c

=1.

1) Có
a
2
−
a
b
+
b
2
=
1
4
(
4
a
2
−
4
a
b
+
4
b
2
)
=
1
4
(
2
a
−
b
)
2
+
3
4
b
2
≥
0
a
2
−ab+b
2
=
4
1

(4a
2
−4ab+4b
2
)=
4
1

(2a−b)
2
+
4
3

b
2
≥0.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
{
b
=
0
2
a
−
b
=
0
{


b=0
2a−b=0



hay
a
=
b
=
0
a=b=0.

2) Có
a
2
−
a
b
+
b
2
=
1
4
(
4
a
2
−
4
a
b
+
4
b
2
)
a
2
−ab+b
2
=
4
1

(4a
2
−4ab+4b
2
)

=
1
4
(
a
+
b
)
2
+
3
4
(
a
−
b
)
2
≥
1
4
(
a
+
b
)
2
=
4
1

(a+b)
2
+
4
3

(a−b)
2
≥
4
1

(a+b)
2


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a
=
b
a=b.

Từ giả thiết
z
≥
y
≥
x
≥
0
z≥y≥x≥0 suy ra
x
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
≥
0
x(x−y)(x−z)≥0 (1).

Hai số hạng còn lại của vế trái bất đẳng thức cần chứng minh có nhân tử chung
z
−
y
≥
0
z−y≥0 (2)

và ta có
y
(
y
−
z
)
(
y
−
x
)
+
z
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
=
(
z
−
y
)
[
z
(
z
−
x
)
−
y
(
y
−
x
)
]
y(y−z)(y−x)+z(z−x)(z−y)=(z−y)[z(z−x)−y(y−x)] (3)

Mà
z
≥
y
≥
x
≥
0
z≥y≥x≥0 nên
z
≥
y
≥
0
z≥y≥0 và
z
−
x
≥
y
−
x
≥
0
z−x≥y−x≥0, từ đó

z
(
z
−
x
)
≥
y
(
y
−
x
)
z(z−x)≥y(y−x) nên
z
(
z
−
x
)
−
y
(
y
−
x
)
≥
0
z(z−x)−y(y−x)≥0 (4)

Từ (2) và (4) suy ra
(
z
−
y
)
[
z
(
z
−
x
)
−
y
(
y
−
x
)
]
≥
0
(z−y)[z(z−x)−y(y−x)]≥0, kết hợp với (3) suy ra

y
(
y
−
z
)
(
y
−
x
)
+
z
(
z
−
x
)
(
z
−
y

≥
0
y(y−z)(y−x)+z(z−x)(z−y)≥0 (5).

Từ (1) và (5) suy ra điều phải chứng minh )