Gọi $R$ (cm) là bán kính của chiếc quạt và $n$ là số đo độ của góc $AOB$ ($0 < n < 360$).

Độ dài cung của chiếc quạt là: $l = \frac{\pi R n}{180}$

Chu vi của chiếc quạt là $80$ cm nên ta có:

$2R + l = 80 \Rightarrow l = 80 - 2R$

Diện tích của chiếc quạt là:

$S = \frac{l \cdot R}{2}$

$S = \frac{(80 - 2R) \cdot R}{2}$

$S = \frac{80R - 2R^2}{2}$

$S = 40R - R^2$

$S = -(R^2 - 40R + 400) + 400$

$S = -(R - 20)^2 + 400$

Vì $-(R - 20)^2 \le 0$ với mọi $R$, nên $S \le 400$.

Diện tích $S$ lớn nhất bằng $400$ cm$^2$ khi $R - 20 = 0 \Rightarrow R = 20$ (cm).

Khi $R = 20$, ta có:

$l = 80 - 2 \cdot 20 = 40$ (cm).

Thay $l$ và $R$ vào công thức, ta được:

$40 = \frac{\pi \cdot 20 \cdot n}{180}$

$40 = \frac{\pi \cdot n}{9}$

$n = \frac{40 \cdot 9}{\pi} = \frac{360}{\pi} \approx 114,6^\circ$

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm có dạng: $y = ax + b$

Vì $d$ đi qua điểm $M(3;3)$ nên ta có:

$3 = 3a + b$

$\Rightarrow b = 3 - 3a$ (1)

Khi đó phương trình đường thẳng $d$ trở thành: $y = ax + 3 - 3a$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $d$ là:

$\frac{x^2}{3} = ax + 3 - 3a$

$\Leftrightarrow x^2 - 3ax - 9 + 9a = 0$ (*)

Để $d$ tiếp xúc với $(P)$ thì phương trình (*) phải có nghiệm kép.

Điều kiện là $\Delta = 0$:

$\Delta = (-3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9 + 9a) = 0$

$9a^2 + 36 - 36a = 0$

$a^2 - 4a + 4 = 0$

$(a - 2)^2 = 0$

$a = 2$

Thay $a = 2$ vào (1) ta được:

$b = 3 - 3 \cdot 2 = -3$

Vậy phương trình đường thẳng $d$ là: $y = 2x - 3$

b, Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $d$ là:$mx^2 = -3x + 1$$\Leftrightarrow mx^2 + 3x - 1 = 0$ ()

Để $d$ và $(P)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A, B$ nằm cùng phía đối với trục tung thì phương trình () phải có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ cùng dấu và $x_1, x_2 \neq 0$.

Điều kiện để có hai nghiệm phân biệt cùng dấu là:$\begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta > 0 \\ P > 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} m \neq 0 \\ 3^2 - 4 \cdot m \cdot (-1) > 0 \\ \frac{-1}{m} > 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} m \neq 0 \\ 9 + 4m > 0 \\ m < 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} m > \frac{-9}{4} \\ m < 0 \end{cases}$

Vậy $\frac{-9}{4} < m < 0$ là các giá trị cần tìm.

a, Vì đường thẳng $d'$ song song với đường thẳng $d: y = -3x + 1$ nên $d'$ có dạng:$y = -3x + b$ ($b \neq 1$)

Do $M(1; 2)$ thuộc $d'$ nên ta thay $x = 1, y = 2$ vào phương trình trên:$2 = -3 \cdot 1 + b$$2 = -3 + b$$b = 5$ (thỏa mãn điều kiện $b \neq 1$)

Vậy phương trình đường thẳng $d'$ là: $y = -3x + 5$

c, Trong $\Delta ABH$, vì $BE$ là tia phân giác của $\widehat{ABH}$ nên theo tính chất đường phân giác ta có:$\frac{HE}{EA} = \frac{BH}{BA}$ (1)

Trong $\Delta ABC$, vì $BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên theo tính chất đường phân giác ta có:$\frac{AD}{DC} = \frac{BA}{BC}$ (2)

Từ câu a, ta có $\Delta ABC \sim \Delta HBA \Rightarrow \frac{BA}{BC} = \frac{BH}{BA}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:$\frac{HE}{EA} = \frac{AD}{DC}$

a, Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$ có:

$\widehat{BAC} = \widehat{BHA} = 90^\circ$

$\widehat{B}$ là góc chung

$\Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta HBA$ (g.g)

b) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HAC$ có:

$\widehat{BAC} = \widehat{AHC} = 90^\circ$

$\widehat{C}$ là góc chung

$\Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta HAC$ (g.g)

Suy ra: $\frac{AC}{HC} = \frac{BC}{AC}$

$\Rightarrow AC^2 = HC \cdot BC$

Bài 15

Ta có: $f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 2 \Rightarrow c = 2$

Với $f(1) = 7 \Rightarrow a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 2 = 7 \Rightarrow a + b = 5$ (1)

Với $f(-2) = -14 \Rightarrow a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) + 2 = -14$

$\Rightarrow 4a - 2b = -16 \Rightarrow 2a - b = -8$ (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế:

$(a + b) + (2a - b) = 5 + (-8)$

$3a = -3 \Rightarrow a = -1$

Thay $a = -1$ vào (1): $-1 + b = 5 \Rightarrow b = 6$

Bài 16

a) Ta có: $F(x) - H(x) = G(x) \Rightarrow H(x) = F(x) - G(x)$

$H(x) = (1 - x + x^2 - ... + x^{100}) - (99x^{99} - 99x^{98} + ... + 99x - 99)$

$H(x) = x^{100} - 100x^{99} + 100x^{98} - 100x^{97} + ... - 100x + 100$

b) Thay $100 = 99 + 1$ vào đa thức $H(x)$:

$H(99) = 99^{100} - (99 + 1)99^{99} + (99 + 1)99^{98} - ... - (99 + 1)99 + 100$

$H(99) = 99^{100} - 99^{100} - 99^{99} + 99^{99} + 99^{98} - ... - 99^2 - 99 + 100$

$H(99) = -99 + 100$

$H(99) = 1$

Bài 17

Vì $x = -1$ là nghiệm của đa thức $f(x)$ nên:

$f(-1) = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) - 2 = 0$

$\Rightarrow a - b - 2 = 0 \Rightarrow a - b = 2$ (1)

Vì $x = 2$ là nghiệm của đa thức $f(x)$ nên:

$f(2) = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 - 2 = 0$

$\Rightarrow 4a + 2b - 2 = 0 \Rightarrow 4a + 2b = 2 \Rightarrow 2a + b = 1$ (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế:

$(a - b) + (2a + b) = 2 + 1$

$3a = 3 \Rightarrow a = 1$

Thay $a = 1$ vào (1): $1 - b = 2 \Rightarrow b = -1$

Bài 18

Ta có các giá trị của đa thức:

$f(1) = 2 \cdot 1^2 + a \cdot 1 + 4 = 6 + a$

$g(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 - b = 4 - 10 - b = -6 - b$

$f(-1) = 2 \cdot (-1)^2 + a \cdot (-1) + 4 = 6 - a$

$g(5) = 5^2 - 5 \cdot 5 - b = 25 - 25 - b = -b$

Theo đề bài:

$f(1) = g(2) \Rightarrow 6 + a = -6 - b \Rightarrow a + b = -12$ (3)

$f(-1) = g(5) \Rightarrow 6 - a = -b \Rightarrow a - b = 6$ (4)

Cộng (3) và (4) vế theo vế:

$(a + b) + (a - b) = -12 + 6$

$2a = -6 \Rightarrow a = -3$

Thay $a = -3$ vào (4): $-3 - b = 6 \Rightarrow b = -9$

Bài 19

Ta có giá trị của các đa thức tại các điểm đã cho:

$g(2) = 2^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$

$g(1) = 1^2 - 1 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$

$f(1) = a \cdot 1 + b = a + b$

$f(-2) = a \cdot (-2) + b = -2a + b$

Theo đề bài:

$f(1) = g(2) \Rightarrow a + b = 3$ (1)

$f(-2) = g(1) \Rightarrow -2a + b = 1$ (2)

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế:

$(a + b) - (-2a + b) = 3 - 1$

$3a = 2 \Rightarrow a = \frac{2}{3}$

Thay $a = \frac{2}{3}$ vào (1): $\frac{2}{3} + b = 3 \Rightarrow b = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}$

Bài 20

Thu gọn hai đa thức $f(x)$ và $g(x)$:

$f(x) = ax^3 + 4x^3 - 4x + 8 = (a + 4)x^3 - 4x + 8$

$g(x) = x^3 - 4bx^2 - 4x + c - 3$

Để $f(x) = g(x)$ với mọi $x$ thì các hệ số của các lũy thừa cùng bậc phải bằng nhau:

Hệ số của $x^3$: $a + 4 = 1 \Rightarrow a = -3$

Hệ số của $x^2$: $0 = -4b \Rightarrow b = 0$

Hệ số của $x$: $-4 = -4$ (luôn đúng)

Hệ số tự do: $8 = c - 3 \Rightarrow c = 11$

Gọi số chưa biết trên tấm thẻ thứ ba là $x$ ($x$ có hai chữ số).

Khi xếp 3 tấm thẻ $a, b, c$ cạnh nhau, ta lập được $6$ số có $6$ chữ số là: $abc, acb, bac, bca, cab, cba$.

Mỗi tấm thẻ xuất hiện ở vị trí "hàng trăm nghìn và hàng chục nghìn" 2 lần, vị trí "hàng nghìn và hàng trăm" 2 lần, vị trí "hàng chục và hàng đơn vị" 2 lần.

Ta có tổng các số lập được là:

$2 \cdot (a+b+c) \cdot 10000 + 2 \cdot (a+b+c) \cdot 100 + 2 \cdot (a+b+c) \cdot 1 = 1818180$

$2 \cdot (a+b+c) \cdot (10000 + 100 + 1) = 1818180$

$2 \cdot (a+b+c) \cdot 10101 = 1818180$

$2 \cdot (a+b+c) = 1818180 : 10101$

$2 \cdot (a+b+c) = 180$

$a + b + c = 90$

Thay $a = 15, b = 27$ vào biểu thức $a + b + c = 90$, ta có:

$15 + 27 + x = 90$

$42 + x = 90$

$x = 48$

Đáp số: 48

Số đường thẳng vẽ được qua $m$ điểm không thẳng hàng là: $\frac{m(m-1)}{2}$

Số đường thẳng vẽ được qua $m+1$ điểm không thẳng hàng là: $\frac{(m+1)m}{2}$

Theo đề bài, khi tăng thêm 1 điểm thì số đường thẳng tăng thêm 10, ta có:

$\frac{(m+1)m}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = 10$

$\frac{m^2 + m - (m^2 - m)}{2} = 10$

$\frac{2m}{2} = 10$

$m = 10$

Số đường thẳng vẽ được với $m = 10$ điểm ban đầu là:

$\frac{10(10-1)}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$ (đường thẳng)

Đáp số: 45 đường thẳng

Bài 8

Gọi $x$ là số công nhân cần thiết để hoàn thành công việc trong $12$ ngày ($x \in \mathbb{N}^*$).

Vì số công nhân và thời gian hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

$12x = 16 \cdot 36$

$12x = 576$

$x = 576 : 12$

$x = 48$

Số công nhân cần tăng thêm là:

$48 - 16 = 32$ (công nhân)

Đáp số: $32$ công nhân

Bài 9

Gọi $y$ là thời gian hoàn thành công việc khi có $40$ công nhân ($y > 0$).

Vì số công nhân và thời gian hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

$40y = 30 \cdot 8$

$40y = 240$

$y = 240 : 40$

$y = 6$

Thời gian hoàn thành công việc giảm đi số giờ là:

$8 - 6 = 2$ (giờ)

Đáp số: $2$ giờ

Bài 10

Gọi $x$ là số công nhân cần để đắp xong đoạn đê trong $8$ ngày ($x \in \mathbb{N}^*$).

Vì số công nhân và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

$8x = 36 \cdot 12$

$8x = 432$

$x = 432 : 8$

$x = 54$

Đáp số: $54$ công nhân

Bài 11

Gọi $y$ là thời gian $5$ máy cày hoàn thành công việc ($y > 0$).

Vì số máy cày và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

$5y = 3 \cdot 30$

$5y = 90$

$y = 90 : 5$

$y = 18$

Đáp số: $18$ giờ

Bài 12

Gọi $x$ là số mét vải loại 2 mua được ($x > 0$). Gọi $g$ là giá tiền $1$m vải loại 2.

Vì cùng một số tiền, chiều dài vải và giá tiền $1$m là hai đại lượng tỉ lệ nghịch:

$x \cdot g = 51 \cdot (85\% \cdot g)$

$x = 51 \cdot 0,85$

$x = 43,35$

Đáp số: $43,35$ m

Bài 13

Gọi $a, b, c$ lần lượt là số máy của $3$ đội ($a, b, c \in \mathbb{N}^*$).

Theo đề bài ta có $a - b = 2$.

Vì số máy và thời gian hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên:

$4a = 6b = 8c$ hay $\frac{a}{\frac{1}{4}} = \frac{b}{\frac{1}{6}} = \frac{c}{\frac{1}{8}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a}{\frac{1}{4}} = \frac{b}{\frac{1}{6}} = \frac{a-b}{\frac{1}{4}-\frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{1}{12}} = 24$

$a = 24 \cdot \frac{1}{4} = 6$

$b = 24 \cdot \frac{1}{6} = 4$

$c = 24 \cdot \frac{1}{8} = 3$

Đáp số: Đội 1: $6$ máy; Đội 2: $4$ máy; Đội 3: $3$ máy