Ta có

\(B C \bot A B^{'} ; B^{'} C^{'} \bot A B^{'}\) => BC//B'C'

\(\Rightarrow \frac{A B}{A B^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}} \Rightarrow \frac{x}{x + h} = \frac{a}{a^{'}}\)

\(\Rightarrow a^{'} x = a x + a h \Rightarrow x \left(\right. a^{'} - a \left.\right) = a h \Rightarrow x = \frac{a h}{a^{'} - a} \left(\right. d p c m \left.\right)\)

Xét Tam giác ADB:  MN // AB (gt)

Suy ra:  DN/DB = MN/AB  (Hệ quả định lí Talét) (1)

Xét Tam giác ACB:  PQ // AB (gt)

Suy ra:  CQ/CB = PQ/AB    (Hệ quá định lí Talét)  (2)

Ta có:   NQ  sog sog  AB (gt)

             AB  sog sog  CD (gt)

Suy ra:  NQ  sog sog  CD (cùng sog sog  AB)

Xét Tam giác BDC:  NQ  sog sog  CD (cmt)

Suy ra:  DN/DB = CQ/CB (Định lí Talét)                (3)

Từ (1), (2) và (3)  suy ra:  MN/AB  =  PQ/AB

                             Suy ra:  MN = PQ  (đpcm).

Gọi E là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

CE là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(E là trung điểm của AB)

G là trọng tâm của ΔABC(Gt)

Do đó: G∈CE(Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

⇒GD//BE

Xét ΔABC có

CE là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(E là trung điểm của AB)

G là trọng tâm của ΔABC(gt)

Do đó: \(C G = \frac{2}{3} C E\)(Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)(1)

Ta có: CG+GE=CE(G nằm giữa C và E)

⇔GE=CE-EG

hay \(G E = \frac{1}{3} C E\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{C G}{G E} = \frac{2}{1}\)

Xét ΔCEB có 

G∈CE(cmt)

D∈BC(gt)

GD//EB(cmt)

Do đó: \(\frac{G C}{E G} = \frac{D C}{B D}\)(Định lí Ta lét)

⇒\(\frac{D C}{B D} = 2\)

hay DC=2BD

Ta có: BD+DC=BC(D nằm giữa B và C)

⇔2BD+BD=BC

⇔3BD=BC

hay \(B D = \frac{1}{3} B C\)(đpcm)

Gọi E là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

CE là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(E là trung điểm của AB)

G là trọng tâm của ΔABC(Gt)

Do đó: G∈CE(Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

⇒GD//BE

Xét ΔABC có

CE là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(E là trung điểm của AB)

G là trọng tâm của ΔABC(gt)

Do đó: \(C G = \frac{2}{3} C E\)(Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)(1)

Ta có: CG+GE=CE(G nằm giữa C và E)

⇔GE=CE-EG

hay \(G E = \frac{1}{3} C E\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{C G}{G E} = \frac{2}{1}\)

Xét ΔCEB có 

G∈CE(cmt)

D∈BC(gt)

GD//EB(cmt)

Do đó: \(\frac{G C}{E G} = \frac{D C}{B D}\)(Định lí Ta lét)

⇒\(\frac{D C}{B D} = 2\)

hay DC=2BD

Ta có: BD+DC=BC(D nằm giữa B và C)

⇔2BD+BD=BC

⇔3BD=BC

hay \(B D = \frac{1}{3} B C\)(đpcm)

Gọi E là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

CE là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(E là trung điểm của AB)

G là trọng tâm của ΔABC(Gt)

Do đó: G∈CE(Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

⇒GD//BE

Xét ΔABC có

CE là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(E là trung điểm của AB)

G là trọng tâm của ΔABC(gt)

Do đó: \(C G = \frac{2}{3} C E\)(Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)(1)

Ta có: CG+GE=CE(G nằm giữa C và E)

⇔GE=CE-EG

hay \(G E = \frac{1}{3} C E\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{C G}{G E} = \frac{2}{1}\)

Xét ΔCEB có 

G∈CE(cmt)

D∈BC(gt)

GD//EB(cmt)

Do đó: \(\frac{G C}{E G} = \frac{D C}{B D}\)(Định lí Ta lét)

⇒\(\frac{D C}{B D} = 2\)

hay DC=2BD

Ta có: BD+DC=BC(D nằm giữa B và C)

⇔2BD+BD=BC

⇔3BD=BC

hay \(B D = \frac{1}{3} B C\)(đpcm)