Ta có:  \(x^{2} - 4 x + 9 = \left(\right. x - 2 \left.\right)^{2} + 5 \geq 5\).

Suy ra \(B = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 9} = \frac{1}{\left(\right. x - 2 \left.\right)^{2} + 5} \leq \frac{1}{5}\).

Dấu bằng xảy ra khi \(x = 2\).

Xét \(\Delta K N M\) và \(\Delta M N P\) có:

     \(\hat{M K N} = \hat{N M P} = 9 0^{\circ}\);

     \(\hat{N}\) chung;

Suy ra \(\Delta K N M \sim \Delta M N P\) (g.g) (1)

Xét \(\Delta K M P\) và \(\Delta M N P\) có:

     \(\hat{M K P} = \hat{N M P} = 9 0^{\circ}\)

    \(\hat{P}\) là góc chung

Do đó \(\Delta K M P \sim \Delta M N P\) (g.g) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta K N M \sim \Delta K M P\).

b)  \(\Delta K N M \sim \Delta K M P\). ( chứng minh trên)

suy ra: \(\frac{M K}{K P} = \frac{N K}{M K}\)

Nên \(MK.MK=NK.KP\) hay \(M K^{2} = N K . K P\)

c) suy ra \(M K = 6\) cm.

Nên \(S_{M N P} = \frac{1}{2} M K . N P = \frac{1}{2} . 6. \left(\right. 4 + 9 \left.\right) = 39\) cm\(^{2}\).

a) Rút gọn \(A = \frac{\left(\right. x - 1 \left.\right)^{2}}{\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 1 \left.\right)} = \frac{x - 1}{x + 1}\)

b) Với \(x = 3\) thì \(A = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{1}{2}\)

Với \(x = \frac{3}{2}\) thì \(A = \frac{- \frac{3}{2} - 1}{- \frac{3}{2} + 1} = 5\)

c) Ta có biến đối: \(A = \frac{x - 1}{x + 1} = 1 + \frac{- 2}{x + 1}\).

Để biểu thức \(A\) nguyên khi \(\frac{- 2}{x + 1}\) hay \(x + 1\) là ước của \(- 2\).

Do đó

suy ra \(x\) có giá trị \(- 2 ; - 3 ; 0\) thì biểu thức \(A\) nguyên.

a) \(7 x + 2 = 0\)

\(7 x = - 2\)

\(x = - \frac{2}{7}\).

b) \(18 - 5 x = 7 + 3 x\)

\(- 5 x - 3 x = 7 - 18\)

\(- 8 x = - 11\)

\(x = \frac{11}{8}\).

Xét \(\triangle A B C\) và\(\triangle H B A\):

• \(\angle A = 90^{\circ}\)
• \(\angle H = 90^{\circ}\)

⇒ \(\angle A = \angle H\)

• \(\angle A B C\) chung

⇒

Từ hai tam giác đồng dạng suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ:

Nhân chéo:

(đpcm)

Vì \(B D\) là phân giác góc \(A B C\) nên:

Mặt khác theo câu a:

Suy ra:

Do đó:

Xét các tam giác tạo bởi các đường cắt tại \(E\) trong hình suy ra các cặp góc bằng nhau nên:

Suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ:

Nhân chéo ta được:

​

\(\frac{4 x^{2} y^{2} - \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{x^{4} + y^{4} - 2 x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}} \geq 0\)

\(\frac{- \left(\right. x^{2} - y^{2} \left.\right)^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{\left(\right. x^{2} - y^{2} \left.\right)^{2}}{x^{2} y^{2}} \geq 0\)

\(\left(\right.x^2-y^2\left.\right)^2.\left[\right.\frac{1}{x^{2} y^{2}}-\frac{1}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}}\left]\right.\geq0\)

\(\left(\right. x^{2} - y^{2} \left.\right)^{2} . \frac{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2} - x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} \geq 0\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = y\) hoặc \(x = - y\).

Gọi \(x\) (km) là quãng đường \(A B\).

Điều kiện: \(x > 0\).

Thời gian người đó đi xe đạp từ \(A\) đến \(B\) là: \(\frac{x}{15}\) (h);

Thời gian lúc về của người đó là: \(\frac{x}{12}\) (h).

Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi \(45\) phút \(= \frac{3}{4}\) (h), nên ta có phương trình: \(\frac{x}{12} - \frac{x}{15} = \frac{3}{4}\) \[\frac{5 x}{60} - \frac{4 x}{60} = \frac{45}{60}\]5x−4x=45

\(x = 45\) (TMĐK)

Vậy quãng đường \(A B\) dài \(45\) (km).

(với \(x \neq 3\), \(x \neq - 3\)) \(A = \frac{3 x + 15}{\left(\right. x + 3 \left.\right) \left(\right. x - 3 \left.\right)} + \frac{1}{x + 3} - \frac{2}{x - 3}\)

\(A = \frac{3 x + 15 + x - 3 - 2 x - 6}{\left(\right. x + 3 \left.\right) \left(\right. x - 3 \left.\right)}\)

\(A = \frac{2 x + 6}{\left(\right. x + 3 \left.\right) \left(\right. x - 3 \left.\right)}\)

\(A = \frac{2}{x - 3}\).

b) Để \(A = \frac{2}{3}\) thì \(\frac{2}{x - 3} = \frac{2}{3}\)

\(x - 3 = 3\)

\(x = 6\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy \(x = 6\) thì \(A = \frac{2}{3}\)

Xét tam giác \(A B C\) có \(BC\bot AB^{\prime}\) và \(B^{'} C^{'} \bot A B^{'}\) nên suy ra \(B C\) // \(B^{'} C^{'}\).

Theo hệ quả định lý Thales ta có: \(\frac{A B}{A B^{'}}=\frac{B C}{B C^{'}}\)

Suy ra \(\frac{x}{x + h}=\frac{a}{a^{'}}\)

\(a^{'} . x = a \left(\right. x + h \left.\right)\)

\(a^{'} . x - a x = a h\)

\(x \left(\right. a^{'} - a \left.\right) = a h\)

\(x=\frac{ah}{a^{\prime}-a}\).

Xét ΔADB có: MN // AB (giả thiết) => \(\frac{DN}{DB}=\frac{MN}{AB}\) ( hệ quả định lý Thales) (1) Xét ΔACB có: PQ // AB (giả thiết) => \(\frac{CQ}{CB}=\frac{PQ}{AB}\) ( hệ quả định lý Thales) (2) Lại có: NQ // AB (giả thiết) và AB // CD (giả thiết ) => NQ // CD.

Xét ΔBDC có: NQ // CD (chứng minh trên) => \(\frac{DN}{DB}=\frac{CQ}{CB}\) ( định lý Thales) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\frac{MN}{AB}=\frac{PQ}{AB}\) hay MN= PQ ( điều phải chứng minh)