Sử dụng định lí Thalès trong các tam giác 

ΔABD

và 

ΔABC

, ta có 

MNAB=DMDA

và 

PQAB=CQCB

. Áp dụng định lí Thalès cho hình thang 

ABCD

với đường thẳng 

MNPQ

song song với hai đáy, ta có 

AMMD=BQQC

, từ đó suy ra 

DMDA=CQCB

. Kết hợp các tỉ lệ, ta được 

MNAB=PQAB𝑀𝑁𝐴𝐵=𝑃𝑄𝐴𝐵

, do đó 

MN=PQ

Trong hình thang  ABCD ( AB∥CD), xét hai tam giác  △OAB và  △OCD.

• ∠OAB=∠OCD(so le trong, do  AB∥CD)
• ∠OBA=∠ODC(so le trong, do  AB∥CD)
• ∠AOB=∠COD(đối đỉnh) 

Do đó,  △OAB∼△OCD(g.g). Từ sự đồng dạng của hai tam giác, ta có tỉ lệ các cạnh tương ứng:  OAOC=OBOD=ABCD Từ tỉ lệ thức  OAOC=OBOD, nhân chéo các vế, ta được:  OA⋅OD=OB⋅OC BMBC=23

Trong hình thang  ABCD ( AB∥CD), xét hai tam giác  △OABvà  △OCD

• ∠OAB=∠OCD(so le trong, do  AB∥CD
• ∠OBA=∠ODC(so le trong, do  AB∥CD)
• ∠AOB=∠COD(đối đỉnh) 

Do đó,  △OAB∼△OCD(g.g). Từ sự đồng dạng của hai tam giác, ta có tỉ lệ các cạnh tương ứng:  OAOC=OBOD=ABCD Từ tỉ lệ thức  OAOC=OBOD, nhân chéo các vế, ta được:  OA⋅OD=OB⋅OC𝑂𝐴⋅𝑂𝐷=𝑂𝐵⋅𝑂𝐶 BMBC=23

• Vì  DF∥AB(theo giả thiết), áp dụng định lí Thalès trong  △ABC, ta có tỉ lệ thức sau:

AFAC=BDBC

• Vì  DE∥AC(theo giả thiết), áp dụng định lí Thalès trong  △ABC, ta có tỉ lệ thức sau:

AEAB=CDBC𝐴𝐸 Cộng hai tỉ lệ thức trên, ta được:  AEAB+AFAC=CDBC+BDBC

AEAB+AFAC=CD+BDBC

Vì điểm  Dnằm trên cạnh  BC, ta có  CD+BD=BC.Thay vào phương trình trên: 

AEAB+AFAC=BCBC