a) Từ điểm M, vẽ đường thẳng song song với BD (hay ID) cắt AC tại E

Xét tam giác AME, có:

I là trung điểm của AM (gt)

ME // ID (gt)

=> D là trung điểm của AE (đl đg tb đảo)

Do đó AD = DE (1)

Xét tam giác BCD, có:

M là trung điểm của BC ( AM là đg trung tuyến của tam giác ABC), ME//BD

=> E là trung điểm của DC (đl đg tb đảo)

Do đó DE = EC = 1/2 DC (2)

Từ (1) và(2), suy ra: AD = 1/2 DC (đpcm)

b) Xét tam giác BDC, có:

M là tđ của BC ( AM là đg trung tuyến của tam giác ABC), E là tđ của DC (cmt)

=> ME là đg tb của tam giác BCD

Do đó ME = 1/2 BD

Xét tam giác AME, có:

I là tđ của AM ( gt), D là tđ của AE (cmt)

=> ID là đg tb của tam giác AME

Do đó ID = 1/2 ME

Ta có: ME = 2ID, BD = 2ME

=> BD = 2(2ID) = 4ID

Xét cặp tam giác đồng dạng OAB và ODC, có: OA/OC = OB/OD

=> OA.OD = OB.OC

Vì DF // AB (gt) => AF/AC = BD/BC (định lý Thales)

Vì DE // AC (gt) => AE/AB = CD/BC​ (định lý Thales)
=> AF/AC + AE/AB = BD/BC + CD/BC = BD+CD/BC = BC/BC = 1