Vì \(B M\), \(C N\) là các đường trung tuyến của \(\Delta A B C\) nên \(M A = M C\), \(N A = N B\).

Do đó \(M N\) là đường trung bình của \(\Delta \&\text{nbsp}; A B C\), suy ra \(M N\) // \(B C\). (1)

Ta có \(D E\) là đường trung bình của \(\Delta \&\text{nbsp}; G B C\) nên \(D E\) // \(B C\).  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(M N\) // \(D E\).

xét tam giác BED có MI//ED , ME//BM

=>ID=IB

xét tam giác CED có Nk//ED , NC=ND

=>KE=KC

=>MI=1/2.ED , NK=1/2.ED , ED =1/2.CD

IK=MK-MI=1/2.BC-1/2.DE=DE-1/2.DE=1/2.DE

VẬY MI=IK=KN

a)kẻ MN // BD ,N thuộc AC

=> MN là đường trung bình của tam giác CBD

=>N là trung điểm CD(1)

IN là đường trung bình tam giác AMN

=>D là trung điểm của AN(2)

từ (1) ,(2) =>AD=1/2.CD

b) có ID =1/2.MN

MN=1/2.BD nên BD=ID

Xét tam giác ABD ta có : MN//AB (GT) => DN/DB=MN/AB (hệ quả định lí thales) (1)

Xét tam giác ACB ta có : PQ/AB (gt) => CQ/CB = PQ/AB (hệ quả định lí thales) (2)

Ta có : NQ //AB (gt), AB // CD (gt)

=> NQ // CD (dhnb)

Xét tam giác BDC có : NQ // CD (cmt) => DN/DB = CQ/CB ( định lí thales ) (3)

Từ (1),(2), và (3) => MN/AB = PQ/AB hay MN=PQ(đpcm)

vì đường thẳng d qua G và song song với AB (gt),d cắt BC tại M (gt)

=> AG cắt BC tại E

ta có GM //AB(gt) =>BM/BE=AG/AE( định lí thales)

lại có AG/AE=2/3( G là trọng tâm của tam giác ABC)=>BM/BE=2/3

=>BM=2/3.BE=2/3.1/2.BC=1/3BC

xét hình thang ABCD có AB//CD (gt) suy ra OA/OC=OB/OD(định lí thales)

suy ra OA.OD=OB.OC(ĐPCM)

Xét tam giác ABC có

DF //AC nên AF/AC =BD/BC

suy ra AE/AB+AF/AC=CD/BC+BD/BC=BC/BC=1