Quan sát hình trên và chứng minh \(x = \frac{a h}{a^{'} \&\text{nbsp}; - a}\).

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác \(A B C\) có \(B C \bot \&\text{nbsp}; A B^{'}\) và \(B^{'} C^{'} \bot A B^{'}\) nên suy ra \(B C\) // \(B^{'} C^{'}\).

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có: \(\frac{A B}{A B^{'}} \&\text{nbsp}; = \frac{B C}{B C^{'}}\)

Suy ra \(\frac{x}{x + h} \&\text{nbsp}; = \frac{a}{a^{'}}\)

\(a^{'} . x = a \left(\right. x + h \left.\right)\)

\(a^{'} . x - a x = a h\)

\(x \left(\right. a^{'} - a \left.\right) = a h\)

\(x = \frac{a h}{a^{'} \&\text{nbsp}; - a}\).

Hướng dẫn giải:

Trong tam giác \(A D B\), ta có: \(M N\) // \(A B\) (gt)

Suy ra \(\frac{D N}{D B} \&\text{nbsp}; = \frac{M N}{A B}\) (hệ quả định lí Thalès) (1)

Trong tam giác \(A C B\), ta có: \(P Q\) // \(A B\) (gt)

Suy ra \(\frac{C Q}{C B} \&\text{nbsp}; = \frac{P Q}{A B}\) (hệ quả định lí Thalès) (2)

Lại có: \(N Q\) // \(A B\) (gt); \(A B\) // \(C D\) (gt)

Suy ra \(N Q\) // \(C D\)

Trong tam giác \(B D C\), ta có: \(N Q\) // \(C D\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\frac{D N}{D B} \&\text{nbsp}; = \frac{C Q}{C B}\) (định lí Thalès) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN\(BẰNG\) PQ

Lấy \(D\) là trung điểm của cạnh \(B C\).

Khi đó, \(A D\) là đường trung tuyến của tam giác \(A B C\).

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A B C\) nên điểm \(G\) nằm trên cạnh \(A D\).

Ta có \(\frac{A G}{A D} = \frac{2}{3}\) hay \(A G = \frac{2}{3} A D\).

Vì \(M G\) // \(A B\), theo định lí Thalès, ta suy ra: \(\frac{A G}{A D} = \frac{B M}{B D} = \frac{2}{3}\).

Ta có \(B D = C D\) (vì \(D\) là trung điểm của cạnh \(B C\)) nên \(\frac{B M}{B C} = \frac{B M}{2 B D} = \frac{2}{2.3} = \frac{1}{3}\).

Do đó \(B M = \frac{1}{3} B C\) (đpcm).

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác:

⚡\(D E\) // \(A C\) nên \(\frac{A E}{A B} = \frac{C D}{B C}\);

⚡\(D F\) // \(A C\) nên \(\frac{A F}{A C} = \frac{B D}{B C}\).

Khi đó, \(\frac{A E}{A B} + \frac{A F}{A C} = \frac{C D}{B C} + \frac{B D}{B C} = \frac{B C}{B C} = 1\).

Trong ΔABC có các đường trung tuyến BD,CE nên D là trung điểm của AC, E là trung điểm của AB nên ED là đường trung bình của ΔABC. Suy ra ED=12BC và ED//BC (tính chất đường trung bình của tam giác).

Ta có: E là trung điểm của AB nên AE=EB=12AB.

Mà M là trung điểm của EB nên EM=MB=12EB=14AB hay MBAB=14.

Tương tự, ta cũng có NC=14AC hay NCAC=14.

Suy ra MBAB=NCAC(=14).

Xét ΔABC có MBAB=NCAC nên MN//BC (định lí Thalès đảo).

Ta có MN//BC (câu b) và ED//BC (câu a) nên ED//MN//BC.

Xét ΔBDE có M là trung điểm của EB và MI//ED (do ED//MN)

Suy ra I là trung điểm của BD hay IB=ID.

Khi đó MI là đường trung bình của ΔBDE nên MI=12ED.

Tương tự, trong DCDE ta cũng có KN=12ED, trong DBCE có MK=12BC.

Ta có IK=MK−MI=12BC−12ED=ED−12ED=12ED.

Do đó MI=IK=KN=12ED.

a.Vì M,N là trung điểm AC,AB

→MN là đường trung bình ΔABC

→MN//CD,MN=12BC

Ta có: D,E là trung điểm GB,GC

→DE là đường trung bình ΔGBC

→DE//BC,DE=12BC

→MN//DE,MN=DE

b.Vì MN//DE,MN=DE

→NMED là hình bình hành

→ND//ME

a/ Gọi E là trung điểm của MC

Từ giả thiết:  AM=12MC nên AM = ME = EC

Xét tam giác BCM có ME = EC (cmt); DB = DC (gt)

⇒ DE là đường trung bình của tam giác BCM

⇒ DE // BM 

Xét tam giác ADE có

AM = ME (cmt)

BM // DE (cmt)

⇒ OM // DE

⇒ OA = OD (trong tam giác đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

b/ Ta có DE là đường trung bình của tam giác BCM ⇒ DE=12BM

Xét tam giác ADE có

OA=OD (cmt); AM=ME (cmt) ⇒ OM là đường trung bình của tam giác ADE

⇒ OM=12DE=12.12BM=14BM.

Kẻ thêm: Gọi E là trung điểm của DC. Hoặc cách khác dễ hơn: Từ M, kẻ đường thẳng song song với BD cắt AC tại E (ME∥BD).

a)

1. Xét △BCD:
2. • Có M là trung điểm của BC (vì AM là trung tuyến).
   • Có ME∥BD (theo cách vẽ).
   • Theo định lý đường trung bình (đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba), suy ra E là trung điểm của DC.
   • Do đó: DE=EC=2​DC (1).
3. Xét △AME:
4. • Có I là trung điểm của AM (giả thiết).
   • Có ID∥ME (vì D nằm trên BD mà BD∥ME).
   • Tương tự định lý trên, suy ra D là trung điểm của AE.
5. Kết luận:

• 
  Do đó: AD=DE (2).

1. • Từ (1) và (2), ta có: AD=DE=EC.
   • Vì DC=DE+EC=2AD, nên suy ra AD=2​DC. (Đpcm)

b)

1. Trong △AME: ID là đường trung bình (vì I,D là trung điểm AM,AE).
2. • Suy ra: ID=21​ME hay ME=2ID.
3. Trong △BCD: ME là đường trung bình (vì M,E là trung điểm BC,DC).
4. • Suy ra: ME=21​BD hay BD=2ME.
5. Thay thế:
6. • BD=2×(2ID)=4ID.

Kết luận: Độ dài BD=4ID (hay ID=41​BD).