b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(2 x^{2} = 2 m x + 1\)

=>\(2 x^{2} - 2 m x - 1 = 0\)

a=2; b=-2m; c=-1

Vì \(a \cdot c = 2 \cdot \left(\right. - 1 \left.\right) = - 2 < 0\)

nên (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Theo viete, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{- \left(\right. - 2 m \left.\right)}{2}=m;x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}}\)

\(\mid x_{2} \mid - \mid x_{1} \mid = 2025\)

=>\(\left(\left(\right. \mid x_{2} \mid - \mid x_{1} \mid \left.\right)\right)^{2} = 202 5^{2}\)

=>\(x_{2}^{2} + x_{1}^{2} - 2 \mid x_{1} x_{2} \mid = 202 5^{2}\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 2 \mid x_{1} x_{2} \mid = 202 5^{2}\)

=>\(m^{2} - 2 \cdot \frac{- 1}{2} - 2 \cdot \mid - \frac{1}{2} \mid = 202 5^{2}\)

=>\(m^{2} = 202 5^{2}\)

=>\(\left[\right. m = 2025 \\ m = - 2025\)

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\frac{1}{2} x^{2} = x + \frac{1}{2} m^{2} + m + 1\)

=>\(x^{2} = 2 x + m^{2} + 2 m + 2\)

=>\(x^{2} - 2 x - \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) = 0\)

\(\Delta = \left(\left(\right. - 2 \left.\right)\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left[\right. - \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) \left]\right.\)

\(= 4 + 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right)\)

\(= 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 3 \left.\right) = 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 + 2 \left.\right)\)

\(=4\left(\left(\right.m+1\left.\right)\right)^2+8>=8>0\)

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Theo Viete, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2;x_1x_2=\frac{c}{a}=-\left(\right.m^2+2m+2\left.\right)}\)

\(x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 68\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{3} - 3 x_{1} x_{2} \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = 68\)

=>\(2^{3} - 3 \cdot 2 \cdot \left[\right. - \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) \left]\right. = 68\)

=>\(6 \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) = 60\)

=>\(m^{2} + 2 m + 2 = 10\)

=>\(m^{2} + 2 m - 8 = 0\)

=>(m+4)(m-2)=0

=>\(\left[\right. m = - 4 \\ m = 2\)

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\frac{1}{2} x^{2} = x + \frac{1}{2} m^{2} + m + 1\)

=>\(x^{2} = 2 x + m^{2} + 2 m + 2\)

=>\(x^{2} - 2 x - \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) = 0\)

\(\Delta = \left(\left(\right. - 2 \left.\right)\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left[\right. - \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) \left]\right.\)

\(= 4 + 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right)\)

\(= 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 3 \left.\right) = 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 + 2 \left.\right)\)

\(=4\left(\left(\right.m+1\left.\right)\right)^2+8>=8>0\)

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Theo Viete, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2;x_1x_2=\frac{c}{a}=-\left(\right.m^2+2m+2\left.\right)}\)

\(x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 68\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{3} - 3 x_{1} x_{2} \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = 68\)

=>\(2^{3} - 3 \cdot 2 \cdot \left[\right. - \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) \left]\right. = 68\)

=>\(6 \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) = 60\)

=>\(m^{2} + 2 m + 2 = 10\)

=>\(m^{2} + 2 m - 8 = 0\)

=>(m+4)(m-2)=0

=>\(\left[\right. m = - 4 \\ m = 2\)

b) thay vào phương trình

\(x^{2} = 2 x + 3 \Rightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0\)

\(\left(\right.x-3\left.\right)\left(\right.x+1\left.\right)=0\Rightarrow x=3hoặcx=-1\)

\(x = 3 \Rightarrow y = 9\)

\(x = - 1 \Rightarrow y = 1\)

=> giao điểm

\(\left(\right.3;9\left.\right)và\left(\right.-1;1\left.\right)\)

c) ta có

\(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{3}{2}\)

Ta có phương trình

\(x^{2} = m x + 3 \Rightarrow x^{2} - m x - 3 = 0\)

áp dụng định lý viete

\(x_{1} + x_{2} = m , x_{1} x_{2} = - 3\)

\(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{m}{- 3} = - \frac{m}{3}\)

Theo đề

\(- \frac{m}{3} = \frac{3}{2} \Rightarrow m = - \frac{9}{2}\)

b) Ta có: phương trình giao điểm

x2=−x−m+1⇒x2+x+m−1=0

Gọi \(x_{1} , x_{2}\) là nghiệm.

áp dụng định lý viete

\(x_{1} + x_{2} = - 1 , x_{1} x_{2} = m - 1\)

\(x_1-x_2=\sqrt{\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 4 x_{1} x_{2}}\) \(= \sqrt{\left(\right. - 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m - 1 \left.\right)} = \sqrt{1 - 4 m + 4} = \sqrt{5 - 4 m}\)

Theo đề

\(\sqrt{5 - 4 m} = 2\)

\(5 - 4 m = 4 \Rightarrow - 4 m = - 1 \Rightarrow m = \frac{1}{4}\)

a) Xét giao điểm:

x²=2x+m²

x²-2x-m²=0

Xét △:

△=(-2)² -4.1.(-m)² =4(1+m² )>0

Vì △>0 với mọi m

⇒ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) gọi x₁ ,x₂ là nghiệm của:

x² -2x-m² =0

áp dụng định lý viete

x₁x₂ =2; x₁x₂=-m²

Ta có (x₁ +1)(x₂ +1)=x₁x₂ +x₁+x₂+1

Thay vào

=-m² +2+1=-m²+3

theo đề

-m² +3=-3

-m² =-6

⇒m²=6

⇒m=\(\pm\) √6

Vậy a) Luôn cắt tại 2 điểm phân biệt với mọi m

b) m=\(\pm\) √6

a) Ta có: đường thẳng d cắt trục tung có tọa độ (0; -5)

=> x= 0 ; y=-5

Thay vào phương trình đường thẳng d:

=> 2( m-1)0 +2m+3=-5

=> 2m+3=-5

2m=-8

m=-4

b) Ta có: giao điểm của d và (P)

=> 2(m-1)x+2m+3=x²

x²-2(m-1)x-(2m+3)=0

áp dụng định lý viete

x_A+x_B =2(m-1)

x_Ax_B=-(2m+3)

Ta có: x²_A + x_B² =(x_A+x_B)-2x_Ax_B

Thay vào:

=[2(m-1)]²-2[-(2m+3)]

=4m²-8m+4+4m+6

=4m²-4m+10

Theo đề:

4m²-4m+10=10

4m²-4m=0

4m(m-1)=0

=>m=0 hoặc m=1

Vậy a) m=-4

b) m=0 hoặc m=1