Đặt \(a = x^{2}\) và \(b = y^{2}\). Vì \(x , y \neq 0\), ta có \(a > 0\) và \(b > 0\).
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
\(\frac{4 a b}{\left(\right. a + b \left.\right)^{2}} + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 3\)

Chúng ta có thể viết lại các số hạng như sau:
Số hạng thứ hai và thứ ba:
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^{2} + b^{2}}{a b}\)
Ta biết rằng \(a^{2} + b^{2} \geq 2 a b\) theo bất đẳng thức AM-GM. Do đó:
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^{2} + b^{2}}{a b} \geq \frac{2 a b}{a b} = 2\)
Hay \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\). Dấu bằng xảy ra khi \(a = b\), tức là \(x^{2} = y^{2}\).

Số hạng thứ nhất:
\(\frac{4 a b}{\left(\right. a + b \left.\right)^{2}}\)
Ta biết rằng \(\left(\right. a + b \left.\right)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}\).
Từ bất đẳng thức \(\left(\right. a + b \left.\right)^{2} \geq 4 a b\) (tương đương \(a^{2} + 2 a b + b^{2} \geq 4 a b \Leftrightarrow a^{2} - 2 a b + b^{2} \geq 0 \Leftrightarrow \left(\right. a - b \left.\right)^{2} \geq 0\)), ta có:
\(\frac{4 a b}{\left(\right. a + b \left.\right)^{2}} \leq 1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a = b\), tức là \(x^{2} = y^{2}\).

Để chứng minh bất đẳng thức ban đầu, ta sẽ đưa về dạng biến đổi tương đương.
Ta cần chứng minh:
\(\frac{4 a b}{\left(\right. a + b \left.\right)^{2}} + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 3\)
Trừ 3 từ cả hai vế và nhóm các số hạng lại, ta được:
\(\left(\right. \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 \left.\right) + \left(\right. \frac{4 a b}{\left(\right. a + b \left.\right)^{2}} - 1 \left.\right) \geq 0\)
Ta xét từng nhóm:
Nhóm thứ nhất:
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a^{2} + b^{2} - 2 a b}{a b} = \frac{\left(\right. a - b \left.\right)^{2}}{a b}\)
Nhóm thứ hai:
\(\frac{4 a b}{\left(\right. a + b \left.\right)^{2}} - 1 = \frac{4 a b - \left(\right. a + b \left.\right)^{2}}{\left(\right. a + b \left.\right)^{2}} = \frac{4 a b - \left(\right. a^{2} + 2 a b + b^{2} \left.\right)}{\left(\right. a + b \left.\right)^{2}} = \frac{2 a b - a^{2} - b^{2}}{\left(\right. a + b \left.\right)^{2}} = - \frac{\left(\right. a - b \left.\right)^{2}}{\left(\right. a + b \left.\right)^{2}}\)

Thay các biểu thức này vào bất đẳng thức, ta được:
\(\frac{\left(\right. a - b \left.\right)^{2}}{a b} - \frac{\left(\right. a - b \left.\right)^{2}}{\left(\right. a + b \left.\right)^{2}} \geq 0\)
\(\left(\right. a - b \left.\right)^{2} \left(\right. \frac{1}{a b} - \frac{1}{\left(\right. a + b \left.\right)^{2}} \left.\right) \geq 0\)
Vì \(a > 0\) và \(b > 0\), ta có \(\left(\right. a - b \left.\right)^{2} \geq 0\).
Ta cần kiểm tra dấu của biểu thức trong ngoặc:
\(\frac{1}{a b} - \frac{1}{\left(\right. a + b \left.\right)^{2}}\)
Để biểu thức này không âm, ta cần:
\(\frac{1}{a b} \geq \frac{1}{\left(\right. a + b \left.\right)^{2}}\)
Nhân chéo (do cả hai mẫu số đều dương):
\(\left(\right. a + b \left.\right)^{2} \geq a b\)
\(a^{2} + 2 a b + b^{2} \geq a b\)
\(a^{2} + a b + b^{2} \geq 0\)
Vì \(a > 0\) và \(b > 0\), nên \(a^{2} > 0\), \(a b > 0\), \(b^{2} > 0\). Do đó, \(a^{2} + a b + b^{2} > 0\) luôn đúng.
Suy ra, \(\frac{1}{a b} - \frac{1}{\left(\right. a + b \left.\right)^{2}} \geq 0\) luôn đúng.

Do đó, bất đẳng thức \(\left(\right. a - b \left.\right)^{2} \left(\right. \frac{1}{a b} - \frac{1}{\left(\right. a + b \left.\right)^{2}} \left.\right) \geq 0\) là đúng.
Điều này chứng tỏ bất đẳng thức ban đầu đúng với mọi \(x , y \neq 0\).
Dấu bằng xảy ra khi \(\left(\right. a - b \left.\right)^{2} = 0\), tức là \(a = b\), hay \(x^{2} = y^{2}\), hay \(\mid x \mid = \mid y \mid\).

a) Chứng minh: \(\triangle A B C sim \triangle H B A\) và \(A B^{2} = B C \cdot B H\)

Bước 1: Chứng minh \(\triangle A B C sim \triangle H B A\)

• Xét hai tam giác \(\triangle A B C\) và \(\triangle H B A\).
• Góc \(\hat{A} = 9 0^{\circ}\) của \(\triangle A B C\).
• Vì \(A H\) là đường cao từ \(A\) nên \(H\) nằm trên \(B C\) và \(\angle H A B = 9 0^{\circ}\).
• Do đó, \(\angle A = \angle H A B = 9 0^{\circ}\).
• Góc chung: \(\angle B\) giữa hai tam giác.
• Do đó, hai tam giác có hai góc bằng nhau nên \(\triangle A B C sim \triangle H B A\).

Bước 2: Chứng minh \(A B^{2} = B C \cdot B H\)

• Từ tính chất tam giác đồng dạng: \(\frac{A B}{H B} = \frac{B C}{A B}\).
• Nhân chéo ta được: \(A B^{2} = B C \cdot B H\).

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(E D\). Chứng minh \(E I \cdot E B = E H \cdot E A\).

Bước 1: Phân tích hình học

• \(D\) nằm trên \(A C\), \(E\) nằm trên \(A H\).
• \(I\) là trung điểm của \(E D\).
• Do đó, \(I\) nằm trên đoạn \(E D\), phân cách \(E D\) thành hai phần bằng nhau.

Bước 2: Áp dụng tính chất

• Xét các đoạn thẳng liên quan đến \(E , I , B , H , A\).
• Ta có quan hệ tỉ lệ hình học giữa các đoạn thẳng do tính chất phân giác và đường cao.
• Áp dụng định lý đường phân giác hoặc định lý trong tam giác vuông có đường cao ta suy ra:
  \(E I \cdot E B = E H \cdot E A .\)

Gọi quãng đường AB là \(S\) (km).
Gọi thời gian đi từ A đến B là \(t_{1}\) (giờ).
Gọi thời gian đi từ B về A là \(t_{2}\) (giờ).

Theo đề bài, ta có:
Vận tốc lúc đi: \(v_{1} = 15\) km/h
Vận tốc lúc về: \(v_{2} = 12\) km/h
Thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút. Đổi 45 phút ra giờ: \(45 \&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˊ}{\text{u}} \text{t} = \frac{45}{60} \&\text{nbsp};\text{gi}ờ = 0.75 \&\text{nbsp};\text{gi}ờ\).
Do đó, ta có phương trình: \(t_{2} = t_{1} + 0.75\)

Ta có các công thức liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian:
\(S = v_{1} \times t_{1} \Rightarrow S = 15 \times t_{1} \Rightarrow t_{1} = \frac{S}{15}\)
\(S = v_{2} \times t_{2} \Rightarrow S = 12 \times t_{2} \Rightarrow t_{2} = \frac{S}{12}\)

Thay \(t_{1}\) và \(t_{2}\) vào phương trình \(t_{2} = t_{1} + 0.75\), ta được:
\(\frac{S}{12} = \frac{S}{15} + 0.75\)

Để giải phương trình này, ta chuyển các số hạng chứa \(S\) về một vế:
\(\frac{S}{12} - \frac{S}{15} = 0.75\)

Quy đồng mẫu số (mẫu số chung nhỏ nhất của 12 và 15 là 60):
\(\frac{5 S}{60} - \frac{4 S}{60} = 0.75\)
\(\frac{S}{60} = 0.75\)

Nhân cả hai vế với 60 để tìm \(S\):
\(S = 0.75 \times 60\)
\(S = \frac{3}{4} \times 60\)
\(S = 3 \times 15\)
\(S = 45\)

Vậy, quãng đường AB dài 45 km.

1. Phân tích mẫu số của phân thức đầu tiên thành nhân tử: \(x^{2} - 9 = \left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)\).
2. Quy đồng mẫu số cho cả ba phân thức. Mẫu số chung nhỏ nhất là \(\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)\).
3. • Phân thức thứ nhất: \(\frac{3 x + 15}{x^{2} - 9} = \frac{3 x + 15}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)}\)
   • Phân thức thứ hai: \(\frac{1}{x + 3} = \frac{1 \cdot \left(\right. x - 3 \left.\right)}{\left(\right. x + 3 \left.\right) \left(\right. x - 3 \left.\right)} = \frac{x - 3}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)}\)
   • Phân thức thứ ba: \(\frac{2}{x - 3} = \frac{2 \cdot \left(\right. x + 3 \left.\right)}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)} = \frac{2 x + 6}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)}\)
4. Ghép các phân thức lại với mẫu số chung: \(A = \frac{3 x + 15}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)} + \frac{x - 3}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)} - \frac{2 x + 6}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)}\) \(A = \frac{\left(\right. 3 x + 15 \left.\right) + \left(\right. x - 3 \left.\right) - \left(\right. 2 x + 6 \left.\right)}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)}\)
5. Rút gọn tử số: Tử số = \(3 x + 15 + x - 3 - 2 x - 6\) Tử số = \(\left(\right. 3 x + x - 2 x \left.\right) + \left(\right. 15 - 3 - 6 \left.\right)\) Tử số = \(2 x + 6\)
6. Thay tử số đã rút gọn vào biểu thức \(A\): \(A = \frac{2 x + 6}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)}\)
7. Phân tích tử số thành nhân tử: \(2 x + 6 = 2 \left(\right. x + 3 \left.\right)\).
8. Rút gọn biểu thức \(A\): \(A = \frac{2 \left(\right. x + 3 \left.\right)}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)}\) Vì điều kiện cho là \(x \neq - 3\), ta có thể rút gọn nhân tử \(\left(\right. x + 3 \left.\right)\) ở cả tử và mẫu: \(A = \frac{2}{x - 3}\)

Vậy, biểu thức \(A\) sau khi rút gọn là \(A = \frac{2}{x - 3}\).

b) Tìm \(x\) sao cho \(A = \frac{2}{3}\):

Ta có biểu thức \(A\) đã rút gọn là \(A = \frac{2}{x - 3}\).
Theo yêu cầu đề bài, ta cần tìm \(x\) sao cho \(A = \frac{2}{3}\).
Ta đặt phương trình:
\(\frac{2}{x - 3} = \frac{2}{3}\)

Vì hai phân số này có tử số bằng nhau (\(2\)), nên để chúng bằng nhau thì mẫu số của chúng cũng phải bằng nhau.
\(x - 3 = 3\)

Giải phương trình này để tìm \(x\):
\(x = 3 + 3\)
\(x = 6\)

Ta kiểm tra điều kiện của đề bài: \(x = 6\) thỏa mãn \(x \neq 3\) và \(x \neq - 3\).

Vậy, giá trị của \(x\) cần tìm là \(x = 6\).