ÔI LỘT MIÊN :P
Giới thiệu về bản thân
Chào mừng bạn đến với trang cá nhân của ÔI LỘT MIÊN :P
0
0
0
0
0
0
0
2026-01-17 20:37:02
Để chứng minh không tồn tại một toán tử Hermite T̂cap T hat𝑇̂ thỏa mãn hệ thức giao hoán [T̂,Ĥ]=iℏopen bracket cap T hat comma cap H hat close bracket equals i ℏ[𝑇̂,𝐻̂]=𝑖ℏ với một Hamiltonian Ĥcap H hat𝐻̂ có phổ năng lượng bị chặn dưới, chúng ta sử dụng phương pháp phản chứng dựa trên tính chất của phép tịnh tiến năng lượng. 1. Phép tịnh tiến năng lượng Giả sử tồn tại một toán tử Hermite T̂cap T hat𝑇̂ thỏa mãn [T̂,Ĥ]=iℏopen bracket cap T hat comma cap H hat close bracket equals i ℏ[𝑇̂,𝐻̂]=𝑖ℏ. Ta xét toán tử đơn trị (unitary):
Û(ϵ)=eiϵℏT̂cap U hat open paren epsilon close paren equals e raised to the i the fraction with numerator epsilon and denominator ℏ end-fraction cap T hat power𝑈̂(𝜖)=𝑒𝑖𝜖ℏ𝑇̂trong đó ϵepsilon𝜖 là một hằng số thực có đơn vị năng lượng. Sử dụng công thức Baker-Campbell-Hausdorff cho hệ thức giao hoán [T̂,Ĥ]=iℏopen bracket cap T hat comma cap H hat close bracket equals i ℏ[𝑇̂,𝐻̂]=𝑖ℏ:
Û(ϵ)ĤÛ†(ϵ)=Ĥ+iϵℏ[T̂,Ĥ]+12!(iϵℏ)2[T̂,[T̂,Ĥ]]+…cap U hat open paren epsilon close paren cap H hat cap U hat raised to the † power open paren epsilon close paren equals cap H hat plus the fraction with numerator i epsilon and denominator ℏ end-fraction open bracket cap T hat comma cap H hat close bracket plus the fraction with numerator 1 and denominator 2 exclamation mark end-fraction open paren the fraction with numerator i epsilon and denominator ℏ end-fraction close paren squared open bracket cap T hat comma open bracket cap T hat comma cap H hat close bracket close bracket plus …𝑈̂(𝜖)𝐻̂𝑈̂†(𝜖)=𝐻̂+𝑖𝜖ℏ[𝑇̂,𝐻̂]+12!𝑖𝜖ℏ2[𝑇̂,[𝑇̂,𝐻̂]]+…Vì [T̂,Ĥ]=iℏopen bracket cap T hat comma cap H hat close bracket equals i ℏ[𝑇̂,𝐻̂]=𝑖ℏ là một hằng số, các bậc giao hoán cao hơn đều bằng 0. Do đó:
Û(ϵ)ĤÛ†(ϵ)=Ĥ−ϵÎcap U hat open paren epsilon close paren cap H hat cap U hat raised to the † power open paren epsilon close paren equals cap H hat minus epsilon cap I hat𝑈̂(𝜖)𝐻̂𝑈̂†(𝜖)=𝐻̂−𝜖𝐼̂(trong đó Îcap I hat𝐼̂ là toán tử đơn vị). 2. Tác động lên phổ năng lượng Giả sử |E⟩vertical line cap E close angle bracket|𝐸⟩ là một trạng thái dừng của Hamiltonian với trị riêng năng lượng Ecap E𝐸:
Ĥ|E⟩=E|E⟩cap H hat the absolute value of cap E close angle bracket equals cap E end-absolute-value cap E close angle bracket𝐻̂|𝐸⟩=𝐸|𝐸⟩Xét trạng thái mới |ψ⟩=Û†(ϵ)|E⟩the absolute value of psi close angle bracket equals cap U hat raised to the † power open paren epsilon close paren end-absolute-value cap E close angle bracket|𝜓⟩=𝑈̂†(𝜖)|𝐸⟩. Ta tính năng lượng của trạng thái này:
Ĥ|ψ⟩=ĤÛ†(ϵ)|E⟩cap H hat the absolute value of psi close angle bracket equals cap H hat cap U hat raised to the † power open paren epsilon close paren end-absolute-value cap E close angle bracket𝐻̂|𝜓⟩=𝐻̂𝑈̂†(𝜖)|𝐸⟩Từ hệ thức ÛĤÛ†=Ĥ−ϵcap U hat cap H hat cap U hat raised to the † power equals cap H hat minus epsilon𝑈̂𝐻̂𝑈̂†=𝐻̂−𝜖, ta suy ra ĤÛ†=Û†(Ĥ+ϵ)cap H hat cap U hat raised to the † power equals cap U hat raised to the † power open paren cap H hat plus epsilon close paren𝐻̂𝑈̂†=𝑈̂†(𝐻̂+𝜖). Thay vào biểu thức trên:
Ĥ|ψ⟩=Û†(Ĥ+ϵ)|E⟩=Û†(E+ϵ)|E⟩=(E+ϵ)|ψ⟩cap H hat the absolute value of psi close angle bracket equals cap U hat raised to the † power open paren cap H hat plus epsilon close paren end-absolute-value cap E close angle bracket equals cap U hat raised to the † power open paren cap E plus epsilon close paren the absolute value of cap E close angle bracket equals open paren cap E plus epsilon close paren end-absolute-value psi close angle bracket𝐻̂|𝜓⟩=𝑈̂†(𝐻̂+𝜖)|𝐸⟩=𝑈̂†(𝐸+𝜖)|𝐸⟩=(𝐸+𝜖)|𝜓⟩Như vậy, nếu Ecap E𝐸 là một trị riêng của Ĥcap H hat𝐻̂, thì E+ϵcap E plus epsilon𝐸+𝜖 cũng phải là một trị riêng của Ĥcap H hat𝐻̂ với mọi giá trị thực ϵepsilon𝜖. 3. Mâu thuẫn với điều kiện biên Theo giả thiết, Hamiltonian Ĥ=p̂22m+V(x̂)cap H hat equals the fraction with numerator p hat squared and denominator 2 m end-fraction plus cap V open paren x hat close paren𝐻̂=𝑝̂22𝑚+𝑉(𝑥̂)có thế năng bị chặn dưới ( V(x)≥Ccap V open paren x close paren is greater than or equal to cap C𝑉(𝑥)≥𝐶). Trong cơ học lượng tử, điều này dẫn đến việc phổ năng lượng của Ĥcap H hat𝐻̂ cũng phải bị chặn dưới (tức là tồn tại một mức năng lượng cơ bản E0cap E sub 0𝐸0 sao cho không có trạng thái nào có năng lượng thấp hơn E0cap E sub 0𝐸0). Tuy nhiên, từ kết quả ở mục 2, vì ϵepsilon𝜖 có thể là một số thực bất kỳ (kể cả số âm rất lớn), ta có thể chọn ϵepsilon𝜖 sao cho E+ϵ<Emincap E plus epsilon is less than cap E sub m i n end-sub𝐸+𝜖<𝐸𝑚𝑖𝑛 với mọi giá trị Emincap E sub m i n end-sub𝐸𝑚𝑖𝑛 cho trước. Điều này có nghĩa là phổ năng lượng của Ĥcap H hat𝐻̂ phải trải dài từ −∞negative infinity−∞ đến +∞positive infinity+∞. 4. Kết luận Việc phổ năng lượng kéo dài đến −∞negative infinity−∞ mâu thuẫn trực tiếp với tính chất của Hamiltonian vật lý (có thế năng bị chặn dưới). Do đó:
Không tồn tại toán tử Hermite T̂cap T hat𝑇̂ đóng vai trò là "toán tử thời gian" thỏa mãn hệ thức giao hoán chính tắc với Hamiltonian có năng lượng bị chặn dưới. Lưu ý: Đây chính là nội dung của Định lý Pauli. Nó cho thấy trong cơ học lượng tử, thời gian ( tt𝑡) là một tham số (parameter) chứ không phải là một quan sát được (observable) hay toán tử như tọa độ ( xx𝑥).
Û(ϵ)=eiϵℏT̂cap U hat open paren epsilon close paren equals e raised to the i the fraction with numerator epsilon and denominator ℏ end-fraction cap T hat power𝑈̂(𝜖)=𝑒𝑖𝜖ℏ𝑇̂trong đó ϵepsilon𝜖 là một hằng số thực có đơn vị năng lượng. Sử dụng công thức Baker-Campbell-Hausdorff cho hệ thức giao hoán [T̂,Ĥ]=iℏopen bracket cap T hat comma cap H hat close bracket equals i ℏ[𝑇̂,𝐻̂]=𝑖ℏ:
Û(ϵ)ĤÛ†(ϵ)=Ĥ+iϵℏ[T̂,Ĥ]+12!(iϵℏ)2[T̂,[T̂,Ĥ]]+…cap U hat open paren epsilon close paren cap H hat cap U hat raised to the † power open paren epsilon close paren equals cap H hat plus the fraction with numerator i epsilon and denominator ℏ end-fraction open bracket cap T hat comma cap H hat close bracket plus the fraction with numerator 1 and denominator 2 exclamation mark end-fraction open paren the fraction with numerator i epsilon and denominator ℏ end-fraction close paren squared open bracket cap T hat comma open bracket cap T hat comma cap H hat close bracket close bracket plus …𝑈̂(𝜖)𝐻̂𝑈̂†(𝜖)=𝐻̂+𝑖𝜖ℏ[𝑇̂,𝐻̂]+12!𝑖𝜖ℏ2[𝑇̂,[𝑇̂,𝐻̂]]+…Vì [T̂,Ĥ]=iℏopen bracket cap T hat comma cap H hat close bracket equals i ℏ[𝑇̂,𝐻̂]=𝑖ℏ là một hằng số, các bậc giao hoán cao hơn đều bằng 0. Do đó:
Û(ϵ)ĤÛ†(ϵ)=Ĥ−ϵÎcap U hat open paren epsilon close paren cap H hat cap U hat raised to the † power open paren epsilon close paren equals cap H hat minus epsilon cap I hat𝑈̂(𝜖)𝐻̂𝑈̂†(𝜖)=𝐻̂−𝜖𝐼̂(trong đó Îcap I hat𝐼̂ là toán tử đơn vị). 2. Tác động lên phổ năng lượng Giả sử |E⟩vertical line cap E close angle bracket|𝐸⟩ là một trạng thái dừng của Hamiltonian với trị riêng năng lượng Ecap E𝐸:
Ĥ|E⟩=E|E⟩cap H hat the absolute value of cap E close angle bracket equals cap E end-absolute-value cap E close angle bracket𝐻̂|𝐸⟩=𝐸|𝐸⟩Xét trạng thái mới |ψ⟩=Û†(ϵ)|E⟩the absolute value of psi close angle bracket equals cap U hat raised to the † power open paren epsilon close paren end-absolute-value cap E close angle bracket|𝜓⟩=𝑈̂†(𝜖)|𝐸⟩. Ta tính năng lượng của trạng thái này:
Ĥ|ψ⟩=ĤÛ†(ϵ)|E⟩cap H hat the absolute value of psi close angle bracket equals cap H hat cap U hat raised to the † power open paren epsilon close paren end-absolute-value cap E close angle bracket𝐻̂|𝜓⟩=𝐻̂𝑈̂†(𝜖)|𝐸⟩Từ hệ thức ÛĤÛ†=Ĥ−ϵcap U hat cap H hat cap U hat raised to the † power equals cap H hat minus epsilon𝑈̂𝐻̂𝑈̂†=𝐻̂−𝜖, ta suy ra ĤÛ†=Û†(Ĥ+ϵ)cap H hat cap U hat raised to the † power equals cap U hat raised to the † power open paren cap H hat plus epsilon close paren𝐻̂𝑈̂†=𝑈̂†(𝐻̂+𝜖). Thay vào biểu thức trên:
Ĥ|ψ⟩=Û†(Ĥ+ϵ)|E⟩=Û†(E+ϵ)|E⟩=(E+ϵ)|ψ⟩cap H hat the absolute value of psi close angle bracket equals cap U hat raised to the † power open paren cap H hat plus epsilon close paren end-absolute-value cap E close angle bracket equals cap U hat raised to the † power open paren cap E plus epsilon close paren the absolute value of cap E close angle bracket equals open paren cap E plus epsilon close paren end-absolute-value psi close angle bracket𝐻̂|𝜓⟩=𝑈̂†(𝐻̂+𝜖)|𝐸⟩=𝑈̂†(𝐸+𝜖)|𝐸⟩=(𝐸+𝜖)|𝜓⟩Như vậy, nếu Ecap E𝐸 là một trị riêng của Ĥcap H hat𝐻̂, thì E+ϵcap E plus epsilon𝐸+𝜖 cũng phải là một trị riêng của Ĥcap H hat𝐻̂ với mọi giá trị thực ϵepsilon𝜖. 3. Mâu thuẫn với điều kiện biên Theo giả thiết, Hamiltonian Ĥ=p̂22m+V(x̂)cap H hat equals the fraction with numerator p hat squared and denominator 2 m end-fraction plus cap V open paren x hat close paren𝐻̂=𝑝̂22𝑚+𝑉(𝑥̂)có thế năng bị chặn dưới ( V(x)≥Ccap V open paren x close paren is greater than or equal to cap C𝑉(𝑥)≥𝐶). Trong cơ học lượng tử, điều này dẫn đến việc phổ năng lượng của Ĥcap H hat𝐻̂ cũng phải bị chặn dưới (tức là tồn tại một mức năng lượng cơ bản E0cap E sub 0𝐸0 sao cho không có trạng thái nào có năng lượng thấp hơn E0cap E sub 0𝐸0). Tuy nhiên, từ kết quả ở mục 2, vì ϵepsilon𝜖 có thể là một số thực bất kỳ (kể cả số âm rất lớn), ta có thể chọn ϵepsilon𝜖 sao cho E+ϵ<Emincap E plus epsilon is less than cap E sub m i n end-sub𝐸+𝜖<𝐸𝑚𝑖𝑛 với mọi giá trị Emincap E sub m i n end-sub𝐸𝑚𝑖𝑛 cho trước. Điều này có nghĩa là phổ năng lượng của Ĥcap H hat𝐻̂ phải trải dài từ −∞negative infinity−∞ đến +∞positive infinity+∞. 4. Kết luận Việc phổ năng lượng kéo dài đến −∞negative infinity−∞ mâu thuẫn trực tiếp với tính chất của Hamiltonian vật lý (có thế năng bị chặn dưới). Do đó:
Không tồn tại toán tử Hermite T̂cap T hat𝑇̂ đóng vai trò là "toán tử thời gian" thỏa mãn hệ thức giao hoán chính tắc với Hamiltonian có năng lượng bị chặn dưới. Lưu ý: Đây chính là nội dung của Định lý Pauli. Nó cho thấy trong cơ học lượng tử, thời gian ( tt𝑡) là một tham số (parameter) chứ không phải là một quan sát được (observable) hay toán tử như tọa độ ( xx𝑥).
2026-01-17 20:33:05
Không có đồng nào bị mất cả, lỗi nằm ở cách thực hiện phép tính cộng dồn các con số không cùng bản chất.
2026-01-17 20:30:46