Xét tam giác ABC có BC ⊥ AB' và B'C'⊥ AB'nên suy ra BC // B'C'.

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có:

AB/AB′=BC/BC′⇒x/x+h=a/a′⇒a′x=a(x+h)⇒a′x−ax=ah

⇒x(a′−a)=ah⇒x=ah/a′−a (đpcm).

Trong tam giác ADB, ta có: MN // AB (gt)

Suy ra DN/DB=MN/AB (hệ quả định lí Thalès) (1)

Trong tam giác ACB, ta có: PQ // AB (gt)

Suy ra CQ/CB=PQ/AB (hệ quả định lí Thalès) (2)

Lại có: NQ // AB (gt)

            AB // CD (gt) 

Suy ra NQ // CD

Trong tam giác BDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên)

Suy ra DN/DB=CQ/CB (định lí Thalès) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN/AB=PQ/AB hay MN = PQ (đpcm).

Lấy D là trung điểm của cạnh BC. 

Khi đó, AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD.

Ta có AG/AD=2/3 hay AG=2/3AD.

Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta suy ra: AG/AD=BM/BD=2/3.

Ta có BD = CD (vì D là trung điểm của cạnh BC) nên BM/BC=BM/2BD=2/2.3=1/3.

Do đó BM=1/3BC (đpcm).

ABCD là hình thang suy ra AB // CD.

Áp dụng hệ quả định lí Thalès, ta có: OAOC=OBOD⇒OA.OD=OB.OC(đpcm).