Cho hình thang \(A B C D\) (\(A B \parallel C D\)), hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\).

Vì \(A B \parallel C D\) nên:

\(\angle OAB=\angle OCD,\angle OBA=\angle ODC\left(\right.soletrong\left.\right)\)

Suy ra:

\(\triangle O A B sim \triangle O C D \&\text{nbsp}; \left(\right. \text{g}.\text{g} \left.\right)\)

Do đó:

\(\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D}\)

Nhân chéo hai vế, ta được:

\(O A \cdot O D = O B \cdot O C\)

Xét tam giác \(A B C\), lấy điểm \(D\) thuộc cạnh \(B C\).
Qua \(D\) kẻ \(D E \parallel A C\) cắt \(A B\) tại \(E\); kẻ \(D F \parallel A B\) cắt \(A C\) tại \(F\).

Vì \(D E \parallel A C\) nên theo định lí Ta-lét trong tam giác \(A B C\), ta có:

\(\frac{A E}{A B} = \frac{B D}{B C} \left(\right. 1 \left.\right)\)

Vì \(D F \parallel A B\) nên theo định lí Ta-lét trong tam giác \(A B C\), ta có:

\(\frac{A F}{A C} = \frac{C D}{B C} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Cộng (1) và (2), ta được:

\(\frac{A E}{A B} + \frac{A F}{A C} = \frac{B D}{B C} + \frac{C D}{B C} = \frac{B D + C D}{B C} = \frac{B C}{B C} = 1\)

Vậy:

\(\frac{A E}{A B} + \frac{A F}{A C} = 1.\)