Ta có \(V T = \frac{\frac{4 x^{2}}{y^{2}}}{\left(\left(\right. \frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 \left.\right)\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}\)

Đặt \(\frac{x^{2}}{y^{2}} = t \left(\right. t > 0 \left.\right)\) thì VT thành

\(\frac{4 t}{\left(\left(\right. t + 1 \left.\right)\right)^{2}} + t + \frac{1}{t}\)

\(= \frac{4 t}{\left(\left(\right. t + 1 \left.\right)\right)^{2}} + \frac{t^{2} + 1}{t}\)

\(= \frac{4 t}{\left(\left(\right. t + 1 \left.\right)\right)^{2}} + \frac{\left(\left(\right. t + 1 \left.\right)\right)^{2}}{t} - 2\)

Đặt \(\frac{\left(\left(\right. t + 1 \left.\right)\right)^{2}}{t} = u \left(\right. u \geq 4 \left.\right)\) (vì BĐT \(\left(\left(\right. a + b \left.\right)\right)^{2} \geq 4 a b\))

Khi đó \(V T = u + \frac{4}{u} - 2\)

 \(= \frac{4}{u} + \frac{u}{4} + \frac{3 u}{4} - 2\)

\(\geq 2 \sqrt{\frac{4}{u} . \frac{u}{4}} + \frac{3.4}{4} - 2\)

\(= 2 + 3 - 2\)

\(= 3\)

\(\Rightarrow V T \geq 3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow u = 4\) \(\Leftrightarrow t = 1\) \(\Leftrightarrow x = \pm y\)

Vậy ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x = \pm y\)

A B C H D E

a,Ta có: đường cao AH 

=> AH vuông góc BC => AHB = 90`

Tam giác ABC vuông tại A

=> ABC = 90`

Xét hai tam giác ABC và HBA có:

• AHB = ABC (=90`)
• chung góc B

=>    Δ ABC ~ Δ HBA (g-g)

=> \(\frac{A B}{H B} = \frac{B C}{B A}\) ( các cạnh tưng ứng )

​=> AB.BA=HB.BC \(A B^{2}\) = BC.BH

​Vậy ΔABC ~ ΔHBA ; \(A B^{2}\)= BC.BH

Gọi quãng đường AB là: \(x \left(\right. k m , x > 0 \left.\right)\)

Vận tốc trung bình là 15km/h nên vận tốc lúc về là: \(2 \cdot 15 - 12 = 18 \left(\right. k m / h \left.\right)\)

Thời gian đi là: \(\frac{x}{12} \left(\right. h \left.\right)\)

Thời gian về là: \(\frac{x}{18} \left(\right. h \left.\right)\)

Lúc về nhiều hơn lúc đi 45 phút ta có phương trình:

\(\frac{x}{12} - \frac{x}{18} = \frac{3}{4}\) 

\(\Leftrightarrow x \left(\right. \frac{1}{12} - \frac{1}{18} \left.\right) = \frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow x \cdot \frac{1}{36} = \frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{3}{4} : \frac{1}{36}\)

\(\Leftrightarrow x = 27 \left(\right. k m \left.\right)\)

Vậy: quãng đường AB dài 27km

Gọi quãng đường AB là: \(x \left(\right. k m , x > 0 \left.\right)\)

Vận tốc trung bình là 15km/h nên vận tốc lúc về là: \(2 \cdot 15 - 12 = 18 \left(\right. k m / h \left.\right)\)

Thời gian đi là: \(\frac{x}{12} \left(\right. h \left.\right)\)

Thời gian về là: \(\frac{x}{18} \left(\right. h \left.\right)\)

Lúc về nhiều hơn lúc đi 45 phút ta có phương trình:

\(\frac{x}{12} - \frac{x}{18} = \frac{3}{4}\) 

\(\Leftrightarrow x \left(\right. \frac{1}{12} - \frac{1}{18} \left.\right) = \frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow x \cdot \frac{1}{36} = \frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{3}{4} : \frac{1}{36}\)

\(\Leftrightarrow x = 27 \left(\right. k m \left.\right)\)

Vậy: quãng đường AB dài 27km