a) Vẽ parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) và đường thẳng \(d\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(O x y\)

Bảng giá trị hàm số \(y = 2 x^{2}\):

Đồ thị hàm số \(y = 2 x^{2}\) là đường cong Parabol đi qua điểm \(O\), nhận \(O y\) làm trục đối xứng, bề lõm hướng lên trên.

Đồ thị hàm số \(y = x + 1\) là đường thẳng đi qua điểm \(\left(\right. 0 ; 1 \left.\right)\) và \(\left(\right. - 1 ; 0 \left.\right)\)

b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) bằng phép tính.

Hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là nghiệm của phương trình

\(2 x^{2} = x + 1\)

\(2 x^{2} - x - 1 = 0\).

Ta có \(a + b + c = 2 - 1 - 1 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x = 1\) và \(x = \frac{c}{a} = - \frac{1}{2}\).

+ Với \(x = 1\) thì \(y = 1 + 1 = 2\)

+ Với \(x = - \frac{1}{2}\) thì \(y = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}\).

Vậy tọa độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là \(\left(\right. 1 ; 2 \left.\right)\) và \(\left(\right. - \frac{1}{2} ; \frac{1}{2} \left.\right)\).

a) Đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right) :\)

Parabol \(\left(\right. P \left.\right)\):

Vẽ đồ thị:

b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) bằng phép tính.

Hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là nghiệm của phương trình

\(\frac{1}{4} x^{2} = - \frac{1}{2} x + 2\)

\(x^{2} + 2 x - 8 = 0\)

\(\Delta^{'} = 1^{2} - \left(\right. - 8 \left.\right) = 9 > 0\)

Do \(\Delta^{'} > 0\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \(x = - 4\) và \(x = 2\)

+ Với \(x = - 4\) thì \(y = 4\)

+ Với \(x = 2\) thì \(y = 1\).

Vậy tọa độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là \(\left(\right. - 4 ; 4 \left.\right)\) và \(\left(\right. 2 ; 1 \left.\right)\).

Ta có \(B H \bot \&\text{nbsp}; A C\) nên \(\Delta A B H\) vuông tại \(H\).

Mà \(\hat{B A H} = 4 5^{\circ}\) nên \(\hat{A B H^{'}} \&\text{nbsp}; = 4 5^{\circ}\).

Mặt khác \(\hat{A B D} \&\text{nbsp}; = \hat{A C D}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(A D\)) nên \(\hat{A C D} \&\text{nbsp}; = 4 5^{\circ}\). (1)

\(C K \&\text{nbsp}; \bot \&\text{nbsp}; A B\) nên \(\Delta A C K\) vuông tại \(K\).

Mà \(\hat{C A K} \&\text{nbsp}; = 4 5^{\circ}\) nên \(\hat{A C K} \&\text{nbsp}; = 4 5^{\circ}\). (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\hat{D C E} \&\text{nbsp}; = 9 0^{\circ}\) nên \(D E\) là đường kính.

Vậy \(D\), \(O\), \(E\) thẳng hàng.

Vẽ đường kính \(A D\) của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), suy ra \(\hat{A C D} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét \(\Delta H B A\) và \(\Delta C D A\) có:

\(\hat{A H B} = \hat{A C D} = 9 0^{\circ}\);

\(\hat{H B A} = \hat{C D A}\) (góc nội tiếp cùng chắn AC⌢AC⌢);

Do đó \(\Delta H B A \sim \Delta C D A\)

Suy ra \(\frac{A H}{A C} = \frac{A B}{A D}\) nên \(A B . A C = A D . A H\).

Mà \(A D = 2 R\).

Do đó \(A B . A C = 2 R . A H\).

Kẻ đường kính \(A E\) của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\).

Ta thấy \(\hat{A C E} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó \(\hat{O A C} + \hat{A E C} = 9 0^{\circ}\) (1).

Theo giả thiết, ta có:

\(\hat{B A H} + \hat{A B C} = 9 0^{\circ}\) (2).

Mà \(\hat{A E C} = \hat{A B C}\) (cùng chắn AC⌢AC⌢) (3).

Từ (1),(2) và (3) suy ra \(\hat{B A H} = \hat{O A C}\) (đpcm).