Gọi số người được xét nghiệm mỗi giờ theo kế hoạch: \(x\) (người), \(\left(\right. x \in \mathbb{N}^{*} \left.\right)\)

Khi đó, trên thực tế mỗi giờ xét nghiệm được \(x + 50\) (người)

Theo kế hoạch, thời gian xét nghiệm xong là \(\frac{1 000}{x}\) (giờ)

Trên thực tế, thời gian xét nghiệm xong: \(\frac{1 000}{x + 50}\) (giờ)

Do hoàn thành sớm hơn kế hoạch \(1\) ngày nên ta có phương trình

\(\frac{1 000}{x} - \frac{1 000}{x + 50} = 1\)

\(x^{2} + 50 x - 50 000\)

\(x = 200\) (tm) hoặc \(x = - 250\) (ktm)

Vậy theo kế hoạch, mỗi giờ thành phố Gia Nghĩa xét nghiệm được \(200\) người.

Gọi số bộ quần áo mà phân xưởng phải may trong mỗi ngày theo kế hoạch là \(x\) (bộ quần áo)

Điều kiện \(x \in \mathbb{N} ; x < 900\)

Khi đó thời gian phân xưởng may xong \(900\) bộ quần áo theo kế hoạch là \(\frac{900}{x}\) (ngày)

Thực tế mỗi ngày may được \(x + 10\) (bộ quần áo) nên thời gian phân xưởng may xong \(900\) bộ quần áo là \(\frac{900}{x + 10}\) (ngày)

Do hoàn thành kế hoạch sớm hơn \(3\) (ngày) nên ta có phương trình:

\(\frac{900}{x} - \frac{900}{x + 10} = 3\)

\(900 \left(\right. x + 10 \left.\right) - 900 x = 3 x \left(\right. x + 10 \left.\right)\)

\(x^{2} + 10 x - 3 000 = 0\)

Ta có \(\Delta^{'} = 5^{2} - 1. \left(\right. - 3 000 \left.\right) = 3 025\)

Do \Delta^'>0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} = \frac{- 5 + 55}{1} = 50\) (thoả mãn); \(x_{2} = \frac{- 5 - 55}{1} = - 60\) (không thoả mãn)

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải may \(50\) bộ quần áo.

Gọi vận tốc của xe máy là \(x\) (km/h) (điều kiện: \(x > 0\)).

Khi đó vận tốc của ô tô là: \(x + 9\) (km/h).

Thời gian xe máy đi từ Cao Bằng đến Bảo Lạc là: \(\frac{135}{x}\) (giờ).

Thời gian ô tô đi từ Cao Bằng đến Bảo Lạc là: \(\frac{135}{x + 9}\) (giờ).

Vì o tô đến Bảo lạc trước xe máy \(45\) phút \(= \frac{3}{4}\) giờ nên ta có phương trình:

\(\frac{135}{x} - \frac{135}{x + 9} = \frac{3}{4}\)

\(135.4 \left(\right. x + 9 \left.\right) - 135.4 x = 3 x \left(\right. x + 9 \left.\right)\)

\(540 \left(\right. x + 9 \left.\right) - 540 x = 3 x^{2} + 27 x\)

\(3 x^{2} + 27 x - 4 860 = 0\)

\(x^{2} + 9 x - 1 620 = 0\)

\(\left(\right. x - 36 \left.\right) \left(\right. x + 45 \left.\right) = 0\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x = 36\) (tm); \(x = - 45\) (ktm).

Vậy vận tốc của xe máy là \(36\) km/h; vận tốc của ô tô là \(45\) km/h.

Đổi \(30\) phút \(= 0 , 5\) giờ

Gọi vận tốc ô tô dự định đi trên quãng đường \(A B\) là \(x\) (km/h), (\(x > 10\))

Thời gian dự định đi trên quãng đường \(A B\) là \(\frac{100}{x}\) (h)

Vận tốc thực tế ô tô đi là \(x - 10\) (km/h) 

Nên thời gian thực tế đi hết quãng đường \(A B\) là \(\frac{100}{x - 10}\) (h) 

Vì xe đến \(B\) chậm hơn dự định \(30\) phút \(= \frac{1}{2}\) (h) nên ta có phương trình:

\(\frac{100}{x - 10} - \frac{100}{x} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{100 x - 100 \left(\right. x - 10 \left.\right)}{x \left(\right. x - 10 \left.\right)} = \frac{1}{2}\)

\(x^{2} - 10 x - 2 000 = 0\)

Ta có \(\Delta^{'} = 5^{2} + 2 000 = 2 025 > 0\),

\(\sqrt{\Delta} = 45\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} = 5 + 45 = 50\) (tm); \(x_{2} = 5 - 45 = - 40\) (ktm).

Vậy vận tốc dự định là \(50\) km/h và thời gian dự định là \(\frac{100}{50} = 2\) giờ.

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là \(x\) (m, điều kiện: \(x > 0\)).

Khi đó chiều dài hình chữ nhật là \(3 x\) (m).

Kích thước phần đất còn lại sau khi làm lối đi là \(x - 3\) (m); \(3 x - 3\) (m).

Theo bài diện tích đất còn lại là \(4 329\) m\(^{2}\) nên ta có phương trình:

\(\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. 3 x - 3 \left.\right) = 4 329\)

\(3 x^{2} - 3 x - 9 x + 9 = 4 329\)

\(3 x^{2} - 12 x - 4 320 = 0\)

\(x^{2} - 4 x - 1 440 = 0\)

\(\Delta^{'} = 4 + 1 440 = 1 444\) suy ra \(\sqrt{\Delta^{'}} = 38\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x_{1} = \frac{2 + 38}{1} = 40\) (thỏa mãn); \(x_{2} = \frac{2 - 38}{1} = - 36\) (loại).

Vậy chiều rộng mảnh vườn là \(40\) m; chiều dài mảnh vườn là \(3.40 = 120\) m.

Gọi chiều rộng mảnh đất là \(x\) (m) (ĐK: \(x > 0\))

\(\Rightarrow\) Chiều dài mảnh đất là \(x + 7\) (m).

Vì độ dài đường chéo của mảnh đất hình chữ nhật là \(13\) m nên ta có phương trình:

\(x^{2} + \left(\right. x + 7 \left.\right)^{2} = 1 3^{2}\)

\(x^{2} + x^{2} + 14 x + 49 = 169\)

\(2 x^{2} + 14 x - 120 = 0\)

\(x^{2} + 7 x - 60 = 0\)

Ta có \(\Delta = 7^{2} - 4. \left(\right. - 60 \left.\right) = 289 = 172 > 0\) nên phương trình có \(2\) nghiệm phân biệt:

\(x = \frac{- 7 + 17}{2} = 5\) (tm); \(x = \frac{- 7 - 17}{2} = - 12\) (ktm)

\(\Rightarrow\) Chiều rộng của mảnh đất là \(5\) m, chiều dài của mảnh đất là \(5 + 7 = 12\) m.

Vậy diện tích mảnh đất hình chữ nhật là \(S = 5.12 = 60\) (m\(^{2}\)).

a) Gọi \(y = a x + b\) là phương trình đường thẳng \(A B\).

Ta có \(\left{\right. & a . \left(\right. - 1 \left.\right) + b = 1 \\ & a . 3 + b = 9\)

\(\left{\right. & a = 2 \\ & b = 3\)

Suy ra phương trình đường thẳng \(A B\) là \(\left(\right. d \left.\right) : y = 2 x + 3\).

Đường thẳng \(A B\) cắt trục \(O y\) tại điểm \(I \left(\right. 0 ; 3 \left.\right)\).

(Học sinh tự vẽ hình)

Diện tích tam giác \(O A B\) là: \(S_{O A B} = S_{O A I} + S_{O B I} = \frac{1}{2} A H . O I + \frac{1}{2} B K . O I\).

Ta có \(A H = 1 ; B K = 3 ; O I = 3\).

Suy ra \(S_{O A B} = 6\) (đvdt).

b) Giả sử \(C \left(\right. c ; c^{2} \left.\right)\) thuộc cung nhỏ \(\left(\right. P \left.\right)\) với \(- 1 < c < 3\). 

Diện tích tam giác \(S_{A B C} = S_{A B B^{'} A^{'}} - S_{A C C^{'} A^{'}} - S_{B C C^{'} B^{'}}\). 

Các tứ giác \(A B B^{'} A^{'} , A A^{'} C^{'} C , C B B^{'} C^{'}\) đều là hình thang vuông nên ta có: 

\(S_{A B C} = \frac{1 + 9}{2} . 4 - \frac{1 + c^{2}}{2} . \left(\right. c + 1 \left.\right) - \frac{9 + c^{2}}{2} . \left(\right. 3 - c \left.\right) = 8 - 2 \left(\right. c - 1 \left.\right)^{2} \leq 8\).

Vậy diện tích tam giác \(A B C\) lớn nhất bằng \(8\) (đvdt) khi \(C \left(\right. 1 ; 1 \left.\right)\).

a) Vẽ parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) và đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(O x y\).

+ Xét parabol \(\left(\right. P \left.\right) : y = x^{2}\)

Bảng giá trị:

Parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) là đường cong có đỉnh \(O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\), qua các điểm \(\left(\right. 1 ; 1 \left.\right) , \left(\right. - 1 ; 1 \left.\right) , \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; \left(\right. 2 ; 4 \left.\right) , \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; \left(\right. - 2 ; 4 \left.\right)\)

+ Xét đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right) : y = x + 2\)

Đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) cắt trục \(O x\) tại điểm \(\left(\right. - 2 ; 0 \left.\right)\), cắt trục \(O y\) tại điểm \(\left(\right. 0 ; 2 \left.\right)\)

Vẽ parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) và đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(O x y\)

b)  Phương trình hoành độ giao điểm của parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) và đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\):

\(x^{2} = x + 2\)

\(x^{2} - x - 2 = 0\)

Ta có \(a - b + c = 0\)nên phương trình có hai nghiệm \(x_{1} = - 1 \&\text{nbsp}; , x_{2} = - \frac{c}{a} = 2\)

+ Với \(x_{1} = - 1\) thì \(y_{1} = - 1 + 2 = 1\);

+ Với \(x_{2} = 2\) thì \(y_{2} = 2 + 2 = 4\).

Vậy parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) và đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) cắt nhau tại hai điểm \(\left(\right. - 1 ; 1 \left.\right)\) và \(\left(\right. 2 ; 4 \left.\right)\).

a) Vẽ đồ thị parabol \(\left(\right. P \left.\right) : y = 2 x^{2} .\)

Bảng giá trị:

Đồ thị:

b) Gọi \(M \left(\right. a ; b \left.\right)\) là điểm cần tìm với \(a \neq 0 ; b \neq 0\).

Vì \(M\) có tung độ gấp hai lần hoành độ nên \(b = 2 a\)

Khi đó \(M \left(\right. a ; 2 a \left.\right)\).

Vì \(M \left(\right. a ; 2 a \left.\right) \in \left(\right. P \left.\right) : y = 2 x^{2}\) nên: \(2 a = 2 a^{2}\)

\(2 a^{2} - 2 a = 0\)

\(a^{2} - a = 0\)

\(a \left(\right. a - 1 \left.\right) = 0\)

\(a = 0\) và \(a = 1\)

Vì \(a \neq 0\) nên ta chọn \(a = 1\).

Vậy \(M \left(\right. 1 ; 2 \left.\right)\).

a) Vẽ đồ thị \(\left(\right. P \left.\right)\).

Đồ thị hàm số \(y = - x^{2}\) đi qua gốc tọa độ \(O\), có bề lõm hướng xuống và nhận \(O y\) làm trục đối xứng.

Bảng giá trị:

Parabol \(\left(\right. P \left.\right) : y = - x^{2}\) đi qua các điểm \(\left(\right. - 2 ; - 4 \left.\right)\), \(\left(\right. - 1 ; - 1 \left.\right)\), \(\left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\), \(\left(\right. 1 ; - 1 \left.\right)\), \(\left(\right. 2 ; - 4 \left.\right)\).

Đồ thị Parabol \(\left(\right. P \left.\right) : y = - x^{2}\):

b) Hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là nghiệm của phương trình:

\(- x^{2} = 5 x + 6\)

\(x^{2} + 5 x + 6 = 0\)

Ta có: \(\Delta = b^{2} - 4 a c = 5^{2} - 4.6 = 1 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} = \frac{- 5 + 1}{2} = - 2\); \(x_{2} = \frac{- 5 - 1}{2} = - 3\).

Với \(x_{1} = - 2\) thì \(y_{1} = - \left(\left(\right. - 2 \left.\right)\right)^{2} = - 4\).

Với \(x_{2} = - 3\) thì \(y_{2} = - \left(\left(\right. - 3 \left.\right)\right)^{2} = - 9\).

Vậy tọa độ các giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là \(A \left(\right. - 2 ; - 4 \left.\right)\)và \(B \left(\right. - 3 ; - 9 \left.\right)\).