a) Gọi \(E , F\) là tiếp điểm của đường tròn \(\left(\right. I \left.\right)\) với các cạnh \(A B , A C\)

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(A E = A F ; B E = B D ; C D = C F\)

Do đó: \(2 B D = B D + B E = B C - C D + A B - A E\)

\(= B C + A B - \left(\right. C D + A E \left.\right) = B C + A B - \left(\right. C F + A F \left.\right)\)

\(= B C + A B - A C\) suy ra BD=\(\frac{B C + A B - A C}{2}\)

b) Tương tự câu a ta có DC=\(\frac{B C + A C - A B}{2}\)​ mà \(A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}\) (\(\Delta A B C\) vuông tại \(A\)), do đó:

\(B D . D C = \frac{\left(\right. B C + A B - A C \left.\right) \left(\right. B C + A C - A B \left.\right)}{4}\)

\(\frac{B C^{2} - \left(\right. A B - A C \left.\right)^{2}}{4} = \frac{B C^{2} - A B^{2} - A C^{2} + 2 A B . A C}{4}\)

\(= \frac{A B . A C}{2} = S_{A B C}\)

Ta có: AI+IO=AO

=>\(I O = A O - A I = \frac{1}{3} R\)

Xét (O) có

ΔCED nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔCED vuông tại E

Xét ΔCOI vuông tại O và ΔCED vuông tại E có

\(\hat{O C I}\) chung

Do đó: ΔCOI~ΔCED
=>\(\frac{O I}{E D} = \frac{C O}{C D}\)

=>\(\frac{\frac{1}{3} R}{E D} = \frac{1}{2}\)

=>\(E D = \frac{1}{3} R \cdot 2 = \frac{2}{3} R\)

ΔCED vuông tại E

=>\(C E^{2} + E D^{2} = C D^{2}\)

=>\(C E = \sqrt{\left(\left(\right. 2 R \left.\right)\right)^{2} - \left(\left(\right. \frac{2}{3} R \left.\right)\right)^{2}} = \sqrt{4 R^{2} - \frac{4}{9} R^{2}} = \sqrt{\frac{32}{9} R^{2}} = \frac{4 \sqrt{2}}{3} \cdot R\)

IG=1 cm

r=2