1. Đặt hệ trục tọa độ

Chọn:

• \(O \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
• \(A \left(\right. R , 0 \left.\right)\), \(B \left(\right. - R , 0 \left.\right)\)
• \(C \left(\right. 0 , R \left.\right)\), \(D \left(\right. 0 , - R \left.\right)\)

Điểm \(I\) nằm trên \(A O\):

\(I \left(\right. \frac{R}{3} , 0 \left.\right)\)

2. Viết phương trình đường thẳng \(C I\)

Qua \(C \left(\right. 0 , R \left.\right)\) và \(I \left(\right. \frac{R}{3} , 0 \left.\right)\)

Hệ số góc:

\(k = \frac{0 - R}{\frac{R}{3} - 0} = - 3\)

Phương trình:

\(y = - 3 x + R\)

3. Tìm tọa độ điểm \(E\)

\(E\) nằm trên đường tròn:

\(x^{2} + y^{2} = R^{2}\)

Thay \(y = - 3 x + R\):

\(x^{2} + \left(\right. - 3 x + R \left.\right)^{2} = R^{2}\) \(x^{2} + 9 x^{2} - 6 R x + R^{2} = R^{2}\) \(10 x^{2} - 6 R x = 0\) \(2 x \left(\right. 5 x - 3 R \left.\right) = 0\)

Loại \(x = 0\) (điểm \(C\)), suy ra:

\(x = \frac{3 R}{5}\) \(y = - 3 \cdot \frac{3 R}{5} + R = - \frac{9 R}{5} + \frac{5 R}{5} = - \frac{4 R}{5}\)

Vậy:

\(E \left(\right. \frac{3 R}{5} , - \frac{4 R}{5} \left.\right)\)

4. Tính độ dài \(C E\)

\(C E = \sqrt{\left(\left(\right. \frac{3 R}{5} - 0 \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. - \frac{4 R}{5} - R \left.\right)\right)^{2}}\) \(= \sqrt{\frac{9 R^{2}}{25} + \frac{81 R^{2}}{25}} = \sqrt{\frac{90 R^{2}}{25}} = \frac{3 \sqrt{10}}{5} R\)

5. Suy ra \(R\) theo \(C E\)

\(C E = \frac{3 \sqrt{10}}{5} R\) \(\Rightarrow \boxed{R = \frac{5}{3 \sqrt{10}} \textrm{ } C E}\)

Kết luận

\(\boxed{R = \frac{5}{3 \sqrt{10}} \textrm{ } C E}\)

a) Chứng minh

\(B D = \frac{B C + A B - A C}{2}\)

Lập luận

Gọi:

• \(E , F\) lần lượt là tiếp điểm của \(\left(\right. I \left.\right)\) với \(A B , A C\).

Tính chất tiếp tuyến:

\(B E = B D , C F = C D , A E = A F\)

Suy ra:

\({AB=AE+EB=AF+BDAC=AF+FC=AE+CD}\)

Cộng – trừ hai đẳng thức:

\(A B - A C = B D - C D\)

Mà:

\(B D + D C = B C\)

Giải hệ:{BD−DC=AB−ACBD+DC=BC​

Cộng hai phương trình:

\(2 B D = B C + A B - A C\) \(\Rightarrow \boxed{B D = \frac{B C + A B - A C}{2}}\)

Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) với
\(A B = 9\) cm, \(A C = 12\) cm.

1. Tính các yếu tố cần thiết

\(B C = \sqrt{9^{2} + 12^{2}} = 15 \&\text{nbsp};\text{cm}\)

Bán kính đường tròn nội tiếp:

\(r=\frac{A B + A C - B C}{2}=\frac{9 + 12 - 15}{2}=3;\text{cm}\)

2. Đặt hệ trục tọa độ

Chọn:

• \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
• \(B \left(\right. 9 , 0 \left.\right)\)
• \(C \left(\right. 0 , 12 \left.\right)\)

Khi đó:

• Tâm nội tiếp \(I \left(\right. r , r \left.\right) = \left(\right. 3 , 3 \left.\right)\)
• Trọng tâm \(G \left(\right. \frac{9}{3} , \frac{12}{3} \left.\right) = \left(\right. 3 , 4 \left.\right)\)

IG=(3−3)2+(4−3)2​=1 cm

Kết luận:

\(\boxed{IG=1\text{cm}}\)

\(\)

Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) nên:

\(B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = 10 \&\text{nbsp};(\text{cm})\)

Với tam giác vuông, bán kính đường tròn nội tiếp được tính theo công thức:

\(r = \frac{A B + A C - B C}{2}\)

Thay số:

\(r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 \&\text{nbsp};(\text{cm})\)

Kết luận: r= 2cm

Gọi số người xét nghiệm theo kế hoạch mỗi giờ là \(x\) (người/giờ).

⇒ Thời gian theo kế hoạch là \(\frac{1000}{x}\) (giờ).

Khi cải tiến phương pháp:

• Mỗi giờ xét nghiệm thêm \(50\) người ⇒ năng suất là \(x + 50\) (người/giờ)
• Hoàn thành sớm \(1\) giờ ⇒ thời gian thực tế là \(\frac{1000}{x} - 1\) (giờ)

Theo đề bài:

Khai triển:

Rút gọn:

Nhân cả hai vế với \(x\):

Giải phương trình:

Kết luận:
Theo kế hoạch, mỗi giờ thành phố Gia Nghĩa xét nghiệm được 200 người.

Gọi số bộ quần áo theo kế hoạch may mỗi ngày là \(x\) (bộ/ngày).

⇒ Thời gian theo kế hoạch là \(\frac{900}{x}\) (ngày).

Khi thực hiện:

• Mỗi ngày may thêm \(10\) bộ ⇒ số bộ mỗi ngày là \(x + 10\).
• Hoàn thành sớm \(3\) ngày ⇒ thời gian thực tế là \(\frac{900}{x} - 3\) (ngày).

Theo đề bài:(x+10)(x900​−3)=900

Khai triển:

\(900 + \frac{9000}{x} - 3 x - 30 = 900\)

Rút gọn:

\(\frac{9000}{x} - 3 x - 30 = 0\)

Nhân cả hai vế với \(x\):

\(9000 - 3 x^{2} - 30 x = 0\) \(3 x^{2} + 30 x - 9000 = 0\)

Chia cả hai vế cho 3:

\(x^{2} + 10 x - 3000 = 0\)

Giải phương trình:

\(\Delta = 10^{2} + 4 \cdot 3000 = 12100 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 110\) \(x=\frac{- 10 + 110}{2}=50\left(\right.\left.\right)\)

Kết luận:
Theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng may 50 bộ quần áo

Gọi vận tốc xe máy là \(x\) (km/h)
⇒ vận tốc ô tô là \(x + 9\) (km/h)

Thời gian đi hết quãng đường 135 km:

• Xe máy: \(\frac{135}{x}\) (giờ)
• Ô tô: \(\frac{135}{x + 9}\) (giờ)

Ô tô đến sớm hơn \(45\) phút \(= 0,75\) giờ, nên:

\(\frac{135}{x} - \frac{135}{x + 9} = 0,75\)

135​−x+9135​=0,75

Nhân cả hai vế với \(x \left(\right. x + 9 \left.\right)\):

\(135 \left(\right. x + 9 \left.\right) - 135 x = 0,75 x \left(\right. x + 9 \left.\right)\) \(1215 = 0,75 x^{2} + 6,75 x\)

Nhân cả hai vế với 4 để khử số thập phân:

Chia cả hai vế cho 3:

\(x^{2} + 9 x - 1620 = 0\)

Giải phương trình:

\(\Delta = 9^{2} + 4 \cdot 1620 = 6561 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 81\) \(x=\frac{- 9 + 81}{2}=36\left(\right.\left.\right)\)

4860=3x^2+27x

Vậy:

• Vận tốc xe máy: \(36\) km/h
• Vận tốc ô tô: \(36 + 9 = 45\) km/h

✅ Đáp số: Xe máy \(36\) km/h, ô tô \(45\) km/h.

\(\) \(\)

Gọi chiều rộng mảnh đất là \(x\) (m)
⇒ chiều dài là \(x + 7\) (m)

Theo định lý Pitago (vì hình chữ nhật có đường chéo 13 m):

\(x^{2} + \left(\right. x + 7 \left.\right)^{2} = 13^{2}\) \(x^{2} + x^{2} + 14 x + 49 = 169\) \(2 x^{2} + 14 x - 120 = 0\)

Chia cả hai vế cho 2:

\(x^{2} + 7 x - 60 = 0\) \(\left(\right. x + 12 \left.\right) \left(\right. x - 5 \left.\right) = 0\)

⇒ \(x = 5\) (loại \(x = - 12\) vì không phù hợp)

Vậy:

• Chiều rộng = 5 m
• Chiều dài = 12 m

Diện tích mảnh đất là:

\(S=5\times12=\boxed{60\text{m}^2}\)

Gọi chiều rộng mảnh đất là \(x\) (m)
⇒ chiều dài là \(x + 7\) (m)

Theo định lý Pitago (vì hình chữ nhật có đường chéo 13 m):

\(x^{2} + \left(\right. x + 7 \left.\right)^{2} = 13^{2}\) \(x^{2} + x^{2} + 14 x + 49 = 169\) \(2 x^{2} + 14 x - 120 = 0\)

Chia cả hai vế cho 2:

\(x^{2} + 7 x - 60 = 0\) \(\left(\right. x + 12 \left.\right) \left(\right. x - 5 \left.\right) = 0\)

⇒ \(x = 5\) (loại \(x = - 12\) vì không phù hợp)

Vậy:

• Chiều rộng = 5 m
• Chiều dài = 12 m

Diện tích mảnh đất là:

\(S=5\times12=\boxed{60\text{m}^2}\)

Gọi chiều rộng mảnh đất là \(x\) (m)
⇒ chiều dài là \(x + 7\) (m)

Theo định lý Pitago (vì hình chữ nhật có đường chéo 13 m):

\(x^{2} + \left(\right. x + 7 \left.\right)^{2} = 13^{2}\) \(x^{2} + x^{2} + 14 x + 49 = 169\) \(2 x^{2} + 14 x - 120 = 0\)

Chia cả hai vế cho 2:

\(x^{2} + 7 x - 60 = 0\) \(\left(\right. x + 12 \left.\right) \left(\right. x - 5 \left.\right) = 0\)

⇒ \(x = 5\) (loại \(x = - 12\) vì không phù hợp)

Vậy:

• Chiều rộng = 5 m
• Chiều dài = 12 m

Diện tích mảnh đất là:

\(S=5\times12=\boxed{60\text{m}^2}\)