a,

b,Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = - x - m + 1\)

=>\(x^{2} + x + m - 1 = 0\)

\(\Delta = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. m - 1 \left.\right) = 1 - 4 m + 4 = - 4 m + 5\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>-4m+5>0

=>-4m>-5

=>\(m < \frac{5}{4}\)

Theo Vi-et, ta có:

\(\mid x_{1} - x_{2} \mid = 2\)

=>\(\sqrt{\left(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)\right)^{2}} = 2\)

=>\(\sqrt{\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 4 x_{1} x_{2}} = 2\)

=>\(\sqrt{\left(\left(\right. - 1 \left.\right)\right)^{2} - 4 \left(\right. m - 1 \left.\right)} = 2\)

=>1-4(m-1)=4

=>4(m-1)=-3

=>4m-4=-3

=>4m=1

=>\(m = \frac{1}{4} \left(\right. n h ậ n \left.\right)\)

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = 2 x + m^{2}\)

=>\(x^{2} - 2 x - m^{2} = 0\)(1)

\(\Delta = \left(\left(\right. - 2 \left.\right)\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - m^{2} \left.\right) = 4 m^{2} + 4 > = 4 > 0 \forall m\)

=>Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

b: Theo Vi-et, ta có:

\(\left{\right. x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = 2 \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = - m^{2}\)

\(\left(\right. x_{1} + 1 \left.\right) \left(\right. x_{2} + 1 \left.\right) = - 3\)

=>\(x_{1} x_{2} + \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 1 = - 3\)

=>\(- m^{2} + 2 + 1 = - 3\)

=>\(- m^{2} = - 6\)

=>\(m^{2} = 6\)

=>\(\left[\right. m = \sqrt{6} \\ m = - \sqrt{6}\)

a: Thay x=0 và y=-5 vào (d), ta được:

\(2 \left(\right. m - 1 \left.\right) \cdot 0 + 2 m + 3 = - 5\)

=>2m+3=-5

=>2m=-8

=>m=-4

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) x + 2 m + 3\)

=>\(x^{2} - \left(\right. 2 m - 2 \left.\right) x - \left(\right. 2 m + 3 \left.\right) = 0\)

\(\Delta = \left(\left[\right. - \left(\right. 2 m - 2 \left.\right) \left]\right.\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left[\right. - \left(\right. 2 m + 3 \left.\right) \left]\right.\)

\(= \left(\left(\right. 2 m - 2 \left.\right)\right)^{2} + 4 \left(\right. 2 m + 3 \left.\right)\)

\(= 4 m^{2} - 8 m + 4 + 8 m + 12 = 4 m^{2} + 16 > = 16 > 0 \forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left{\right. x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = 2 m - 2 \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = - \left(\right. 2 m + 3 \left.\right)\)

\(x_{A}^{2} + x_{B}^{2} = 10\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 10\)

=>\(\left(\left(\right. 2 m - 2 \left.\right)\right)^{2} - 2 \cdot \left(\right. - 2 m - 3 \left.\right) = 10\)

=>\(4 m^{2} - 8 m + 4 + 4 m + 6 = 10\)

=>\(4 m^{2} - 4 m = 0\)

=>4m(m-1)=0

=>m(m-1)=0

=>\(\left[\right. m = 0 \\ m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\right. m = 0 \\ m = 1\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = 2 m x + 2 m - 3\)

=>\(x^{2} - 2 m x - 2 m + 3 = 0\)(1)

Để (d) tiếp xúc với (P) thì phương trình (1) có nghiệm kép

=>Δ=0

=>\(\left(\left(\right. - 2 m \left.\right)\right)^{2} - 4 \left(\right. - 2 m + 3 \left.\right) = 0\)

=>\(4 m^{2} + 8 m - 12 = 0\)

=>\(m^{2} + 2 m - 3 = 0\)

=>(m+3)(m-1)=0

=>\(\left[\right. m + 3 = 0 \\ m - 1 = 0\)

=>\(\left[\right. m = - 3 \\ m = 1\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = - x + m + 2\)

=>\(x^{2} + x - m - 2 = 0 \left(\right. 1 \left.\right)\)

Để (d) cắt (P) tại một điểm duy nhất thì phương trình (1) phải có nghiệm kép

=>Δ=0

=>\(1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - m - 2 \left.\right) = 0\)

=>1+4(m+2)=0

=>4m+8+1=0

=>4m=-9

=>\(m = - \frac{9}{4}\)

ĐKXĐ: \(m \neq 1\)

Phương trình hoành độ giao điểm cỉa (P) và (d):

\(x^{2} = \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m + 4\)

\(x^{2} - \left(\right. m - 1 \left.\right) x - m - 4 = 0\)

\(\Delta = \left(\left[\right. - \left(\right. m - 1 \left.\right) \left]\right.\right)^{2} - 4.1. \left(\right. - m - 4 \left.\right)\)

\(= m^{2} - 2 m + 1 + 4 m + 16\)

\(= m^{2} + 2 m + 17\)

\(= \left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} + 16 > 0\) (với mọi \(m \in R\) và \(m \neq 1\))

Theo Vi-ét, ta có:

\(x_{1} . x_{2} = - m - 4\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung thì:

\(- m - 4 < 0\)

\(- m < 4\)

\(m > - 4\)

Vậy \(m > - 4\) thì (P) cắt (d) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

\(2 x + m = \frac{1}{2} x^{2}\)

\(x^{2} = 4 x + 2 m\)

\(x^{2} - 4 x - 2 m = 0\)

\(\Delta = \left(\left(\right. - 4 \left.\right)\right)^{2} - 4.1. \left(\right. - 2 m \left.\right) = 16 + 8 m\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì \(\Delta > 0\)

\(16 + 8 m > 0\)

\(8 m > - 16\)

\(m > - 2\)

Vậy m > -2 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

ĐKXĐ: \(m \neq 1\)

Thay y = 2 vào đường thẳng \(y = - x + 3\), ta có:

\(- x + 3 = 2\)

\(- x = 2 - 3\)

\(- x = - 1\)

\(x = 1\)

Thay \(x = 1 ; y = 2\) vào (1), ta có:

\(\left(\right. 1 - m \left.\right) . 1^{2} = 2\)

\(1 - m = 2\)

\(m = 1 - 2\)

\(m = - 1\) (nhận)

Vậy \(m = - 1\) thì đồ thị hàm số \(y = \left(\right. 1 - m \left.\right) x^{2}\) cắt đường thẳng \(y = - x + 3\) tại điểm có tung độ bằng 2

Gọi số người theo kế hoạch mỗi giờ phải xét nghiệm là x(người)

(ĐIều kiện: \(x \in Z^{+}\))

Số người thực tế mỗi giờ xét nghiệm là x+50(người)

Thời gian dự kiến hoàn thành là \(\frac{1000}{x} \left(\right. g i ờ \left.\right)\)

Thời gian thực tế hoàn thành là \(\frac{1000}{x + 50} \left(\right. g i ờ \left.\right)\)

Việc xét nghiệm hoàn thành sớm 1 giờ nên ta có:

\(\frac{1000}{x} - \frac{1000}{x + 50} = 1\)

=>\(\frac{1000 \left(\right. x + 50 \left.\right) - 1000 x}{x \left(\right. x + 50 \left.\right)} = 1\)

=>\(x \left(\right. x + 50 \left.\right) = 50000\)

=>\(x^{2} + 50 x - 5000 = 0\)

=>(x+100)(x-50)=0

=>\(\left[\right. x + 100 = 0 \\ x - 50 = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = - 100 \left(\right. l o ạ i \left.\right) \\ x = 50 \left(\right. n h ậ n \left.\right)\)

Vậy: Mỗi giờ dự kiến xét nghiệm được cho 50 người

Gọi số bộ quần áo theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải may được là x(bộ)

(Điều kiện: \(x \in Z^{+}\))

Thời gian dự kiến hoàn thành công việc là \(\frac{900}{x} \left(\right. n g \overset{ˋ}{a} y \left.\right)\)

Số bộ quần áo thực tế mỗi ngày may được là x+10(bộ)

Thời gian thực tế hoàn thành công việc là \(\frac{900}{x + 10} \left(\right. g i ờ \left.\right)\)

Phân xưởng đã hoàn thành xong trước 3 ngày nên ta có:

\(\frac{900}{x} - \frac{900}{x + 10} = 3\)

=>\(\frac{300}{x} - \frac{300}{x + 10} = 1\)

=>\(\frac{300 x + 3000 - 300 x}{x \left(\right. x + 10 \left.\right)} = 1\)

=>x(x+10)=3000

=>\(x^{2} + 10 x - 3000 = 0\)

=>(x+60)(x-50)=0

=>\(\left[\right. x = - 60 \left(\right. l o ạ i \left.\right) \\ x = 50 \left(\right. n h ậ n \left.\right)\)

Vậy: Số bộ quần áo dự kiến mỗi ngày may được là 50 bộ