Δ=(−m)2−4(m−2)

\(= m^{2} - 4 m + 8 = \left(\left(\right. m - 2 \left.\right)\right)^{2} + 4 > = 4 > 0 \forall m\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=mx_1x_2=\frac{c}{a}=m-2}\)

\(x_{1} - x_{2} = 2 \sqrt{5}\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)\right)^{2} = \left(\left(\right. 2 \sqrt{5} \left.\right)\right)^{2} = 20\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 20\)

=>\(m^{2} - 4 \left(\right. m - 2 \left.\right) = 20\)

=>\(m^{2} - 4 m - 12 = 0\)

=>(m-6)(m+2)=0

=> =>\(\left[\right.m-6=0m+2=0\Leftrightarrow\left[\right.m=6m=-2\)

Δ=(−m)2−4(m−2)

\(= m^{2} - 4 m + 8 = \left(\left(\right. m - 2 \left.\right)\right)^{2} + 4 > = 4 > 0 \forall m\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=mx_1x_2=\frac{c}{a}=m-2}\)

\(x_{1} - x_{2} = 2 \sqrt{5}\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)\right)^{2} = \left(\left(\right. 2 \sqrt{5} \left.\right)\right)^{2} = 20\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 20\)

=>\(m^{2} - 4 \left(\right. m - 2 \left.\right) = 20\)

=>\(m^{2} - 4 m - 12 = 0\)

=>(m-6)(m+2)=0

=> =>\(\left[\right.m-6=0m+2=0\Leftrightarrow\left[\right.m=6m=-2\)

Δ=(−2)2−4(m−1)=4−4m+4=−4m+8

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>=0

=>-4m+8>=0

=>-4m>=-8

=>m<=2

Theo Vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1}\)

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} \cdot x_{2}^{2} - 14 = 0\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2} + \left(\left(\right. x_{1} x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 14 = 0\)

=>\(2^{2} - 3 \left(\right. m - 1 \left.\right) + \left(\left(\right. m - 1 \left.\right)\right)^{2} - 14 = 0\)

=>\(4 - 3 m + 3 + m^{2} - 2 m + 1 - 14 = 0\)

=>\(m^{2} - 5 m - 6 = 0\)

=>(m-6)(m+1)=0

=>\(\left[\right. m = 6 \left(\right. l o ạ i \left.\right) \\ m = - 1 \left(\right. n h ậ n \left.\right)\)

Δ=(−4)2−4(m−1)

=16-4m+4

=-4m+20

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

=>-4m+20>=0

=>-4m>=-20

=>m<=5

Theo Vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1}\)

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 14\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 14\)

=>\(4^{2} - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) = 14\)

=>2(m-1)=16-14=2

=>m-1=1

=>m=2(nhận)

Δ=42−4.2.m=16−8m

Phương trình có hai nghiệm khi \(\Delta \geq 0\)

\(16 - 8 m \geq 0\)

\(8 m \leq 16\)

\(m \leq 2\)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Ta có:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 10\)

\(\left(\left(\right. - 1 \left.\right)\right)^{2} - 2. \frac{m}{2} = 10\)

\(1 - m = 10\)

\(m = 1 - 10\)

\(m = - 9\) (nhận)

Vậy \(m = - 9\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn: \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10\)

a,

b,

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(2 x^{2} = 2 m x + 1\)

=>\(2 x^{2} - 2 m x - 1 = 0\)

a=2; b=-2m; c=-1

Vì \(a \cdot c = 2 \cdot \left(\right. - 1 \left.\right) = - 2 < 0\)

nên (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Theo vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{- \left(\right. - 2 m \left.\right)}{2}=mx_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}}\)

\(\mid x_{2} \mid - \mid x_{1} \mid = 2025\)

=>\(\left(\left(\right. \mid x_{2} \mid - \mid x_{1} \mid \left.\right)\right)^{2} = 202 5^{2}\)

=>\(x_{2}^{2} + x_{1}^{2} - 2 \mid x_{1} x_{2} \mid = 202 5^{2}\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 2 \mid x_{1} x_{2} \mid = 202 5^{2}\)

=>\(m^{2} - 2 \cdot \frac{- 1}{2} - 2 \cdot \mid - \frac{1}{2} \mid = 202 5^{2}\)

=>\(m^{2} = 202 5^{2}\)

=>\(\left[\right. m = 2025 \\ m = - 2025\)

a,

b,Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\frac{1}{2} x^{2} = x + \frac{1}{2} m^{2} + m + 1\)

=>\(x^{2} = 2 x + m^{2} + 2 m + 2\)

=>\(x^{2} - 2 x - \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) = 0\)

\(\Delta = \left(\left(\right. - 2 \left.\right)\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left[\right. - \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) \left]\right.\)

\(= 4 + 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right)\)

\(= 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 3 \left.\right) = 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 + 2 \left.\right)\)

\(= 4 \left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} + 8 > = 8 > 0 \forall m\)

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2x_1x_2=\frac{c}{a}=-\left(\right.m^2+2m+2\left.\right)}\)

\(x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 68\)

=>\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{3} - 3 x_{1} x_{2} \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = 68\)

=>\(2^{3} - 3 \cdot 2 \cdot \left[\right. - \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) \left]\right. = 68\)

=>\(6 \left(\right. m^{2} + 2 m + 2 \left.\right) = 60\)

=>\(m^{2} + 2 m + 2 = 10\)

=>\(m^{2} + 2 m - 8 = 0\)

=>(m+4)(m-2)=0

=>\(\left[\right. m = - 4 \\ m = 2\)

b,Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = 2 x - 3 m\)

=>\(x^{2} - 2 x + 3 m = 0\)

\(\Delta = \left(\left(\right. - 2 \left.\right)\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 m = - 12 m + 4\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>-12m+4>0

=>-12m>-4

=>\(m < \frac{1}{3}\)

Theo Vi-et, ta có:

\({x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2x_1x_2=\frac{c}{a}=3m}\)

\(x_{1} \cdot x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. 3 m + 2 x_{1} \left.\right) = 12\)

=>\(x_{1} \cdot x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. x_{1} x_{2} + 2 x_{1} \left.\right) = 12\)

=>\(x_{1} \cdot x_{2}^{2} - x_{1} \cdot x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 12\)

=>-2*3m=12

=>-6m=12

=>m=-2(nhận)

a,

b,

Khi m=2 thì (d): y=2x+3

Phương trình hoành độ giao điểm là;

\(x^{2} = 2 x + 3\)

=>\(x^{2} - 2 x - 3 = 0\)

=>(x-3)(x+1)=0

=>\(\left[\right. x - 3 = 0 \\ x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = 3 \\ x = - 1\)

Khi x=3 thì \(y = 3^{2} = 9\)

Khi x=-1 thì \(y = \left(\left(\right. - 1 \left.\right)\right)^{2} = 1\)

Vậy: (P) cắt (d) tại A(3;9); B(-1;1)

c: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = m x + 3\)

=>\(x^{2} - m x - 3 = 0\)

a=1; b=-m; c=-3

Vì \(a \cdot c = 1 \cdot \left(\right. - 3 \left.\right) = - 3 < 0\)

nên (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt trái dấu

Theo Vi-et, ta có:

\(\left{\right. x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = m \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = - 3\)

\(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{3}{2}\)

=>\(\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{3}{2}\)

=>\(\frac{m}{- 3} = \frac{3}{2}\)

=>\(m = - \frac{9}{2}\)

a,

b,

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(2 x^{2} = - 2 x + m\)

=>\(2 x^{2} + 2 x - m = 0\)

\(\Delta\&\text{nbsp}; = 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot \left(\right. - m \left.\right) = 8 m + 4\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>8m+4>0

=>8m>-4

=>\(m > - \frac{1}{2}\)

Theo Vi-et, ta được:

\({.x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{2}=-1x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{m}{2}}\)

\(x_{1} + x_{2} - 2 x_{2} x_{1} = 1\)

=>\(- 1 - 2 \cdot \frac{- m}{2} = 1\)

=>-1+m=1

=>m=2(nhận)