1. Tính \(\hat{B O C} = 2 \hat{B A C} = 9 0^{\circ}\). Suy ra \(\text{arc} \left(\right. B C \left.\right) = 9 0^{\circ}\).
2. Chứng minh được \(\hat{B O D} = 2 \hat{C A H}\) và \(\hat{C O E} = 2 \hat{B A H}\) (Đây là tính chất hình học nâng cao liên quan đến trực tâm và đường tròn ngoại tiếp).
3. Cộng hai góc: \(\hat{B O D} + \hat{C O E} = 2 \left(\right. \hat{C A H} + \hat{B A H} \left.\right) = 2 \hat{B A C} = 2 \cdot 4 5^{\circ} = 9 0^{\circ}\).
4. Góc ở tâm \(\hat{D O E}\) (theo chiều dương) chắn cung \(D E\). Do vị trí các điểm, ta có:\(\text{arc} \left(\right. D E \left.\right) = \text{arc} \left(\right. D B \left.\right) + \text{arc} \left(\right. B C \left.\right) + \text{arc} \left(\right. C E \left.\right) = \hat{B O D} + \hat{B O C} + \hat{C O E}\)\(\text{arc} \left(\right. D E \left.\right) = 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}\)
5. Vì cung \(D E\) bằng \(18 0^{\circ}\), nên \(D E\) là đường kính của \(\left(\right. O \left.\right)\). Vậy \(D , O , E\) thẳng hàng.

1. Xét diện tích tam giác \(A B C\). Ta có hai công thức tính diện tích \(S_{A B C}\):
2. • Dựa trên chiều cao \(A H\) và cạnh đáy \(B C\):\(S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot A H \left(\right. 1 \left.\right)\)
   • Dựa trên các cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\):\(S_{A B C} = \frac{A B \cdot A C \cdot B C}{4 R} \left(\right. 2 \left.\right)\)
3. Từ (1) và (2), ta đồng nhất hai biểu thức diện tích:
   \(\frac{1}{2} \cdot B C \cdot A H = \frac{A B \cdot A C \cdot B C}{4 R}\)
4. Vì \(B C\) là cạnh của tam giác nên \(B C \neq 0\), ta chia cả hai vế cho \(B C\):
   \(\frac{A H}{2} = \frac{A B \cdot A C}{4 R}\)
5. Nhân chéo ta được:
   \(4 R \cdot A H = 2 \cdot A B \cdot A C\)
   Chia cả hai vế cho 2:
   \(2 R \cdot A H = A B \cdot A C\)

Xét tam giác \(A H B\) vuông tại \(H\) (do \(A H\) là đường cao):
\(\hat{B A H} = 9 0^{\circ} - \hat{A B C} \left(\right. *_{1} \left.\right)\)Xét đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\). Ta có \(O A = O C = R\) (bán kính).
Do đó, \(\triangle O A C\) là tam giác cân tại \(O\).
\(\hat{O A C} = \hat{O C A}\)
Tuy nhiên, ta sử dụng tính chất góc ở tâm và góc nội tiếp:
Góc ở tâm chắn cung \(A C\) là \(\hat{A O C}\). Góc nội tiếp chắn cung \(A C\) (không chứa \(B\)) là \(\hat{A B C}\).
Do đó, \(\hat{A O C} = 2 \hat{A B C}\).Trong \(\triangle O A C\) cân tại \(O\):
\(\hat{O A C} = \frac{18 0^{\circ} - \hat{A O C}}{2} = \frac{18 0^{\circ} - 2 \hat{A B C}}{2} = 9 0^{\circ} - \hat{A B C} \left(\right. *_{2} \left.\right)\)Từ \(\left(\right. *_{1} \left.\right)\) và \(\left(\right. *_{2} \left.\right)\), ta suy ra:
\(\hat{B A H} = \hat{O A C}\)