Vì tam giác ABC có hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác. Theo tính chất trọng tâm, ta có:

• GB = 2/3 BE
• GC = 2/3 CF

Mà theo đề bài BE = CF nên suy ra GB = GC. Tam giác GBC có GB = GC nên là tam giác cân tại G, suy ra góc GBC bằng góc GCB.

Xét tam giác FBC và tam giác ECB có:

• Cạnh BC chung.
• Góc FCB bằng góc EBC (vì góc GCB bằng góc GBC).
• CF = BE (theo giả thiết).

Suy ra tam giác FBC bằng tam giác ECB theo trường hợp cạnh - góc - cạnh. Từ hai tam giác bằng nhau này, ta có hai góc tương ứng bằng nhau là góc FBC bằng góc ECB (hay chính là góc ABC bằng góc ACB).

Vì tam giác ABC có góc ABC bằng góc ACB nên tam giác ABC cân tại A. Trong tam giác cân, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A (là đường thẳng AG) đồng thời cũng là đường cao. Suy ra AG vuông góc với BC.

a) Chứng minh BG = GM và CG = GN: Vì BD và CE là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC. Theo tính chất trọng tâm, ta có BG = 2 GD và CG = 2 GE. Theo đề bài, trên tia đối của tia DB lấy điểm M sao cho DM = DG, nên đoạn GM = GD + DM = 2 GD. Từ đó suy ra BG = GM (vì cùng bằng 2 GD). Tương tự, trên tia đối của tia EG lấy điểm N sao cho EN = EG, nên đoạn GN = GE + EN = 2 GE. Từ đó suy ra CG = GN (vì cùng bằng 2 GE).

b) Chứng minh MN = BC và MN // BC: Xét tam giác GMN và tam giác GBC có:

• GM = GB (theo chứng minh trên)
• Góc MGN = góc BGC (hai góc đối đỉnh)
• GN = GC (theo chứng minh trên) Suy ra tam giác GMN = tam giác GBC theo trường hợp cạnh - góc - cạnh. Vì hai tam giác bằng nhau nên các cạnh tương ứng bằng nhau là MN = BC. Đồng thời, các góc tương ứng cũng bằng nhau là góc GMN = góc GBC. Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên suy ra MN // BC.

a) Chứng minh G là trọng tâm tam giác EFC: Vì BE = 2 ED và F thuộc tia đối của tia DE sao cho BF = 2 BE, nên em tính được E chính là trung điểm của đoạn DF. Xét tam giác EFC, có K là trung điểm của CF nên EK là đường trung tuyến thứ nhất. Lại có E là trung điểm của DF nên ED cũng là đường trung tuyến thứ hai của tam giác EFC. Vì G là giao điểm của hai đường trung tuyến EK và ED nên theo tính chất đồng quy, G chính là trọng tâm của tam giác EFC.

b) Tính các tỉ số GE/GK và GC/DC: Vì G là trọng tâm tam giác EFC nên theo tính chất của trọng tâm, tỉ số GE/GK = 2. Tiếp theo, vì D là trung điểm của AC nên DC = 1/2 AC. Từ tính chất trọng tâm trong tam giác EFC, ta cũng có tỉ số GC/AC = 1/3 (do G nằm trên trung tuyến ứng với đỉnh C). Từ hai điều này, suy ra được tỉ số GC/DC = 2/3.

a) Chứng minh ba điểm A, G, E thẳng hàng:
Xét tam giác ABD, ta thấy đường thẳng AC chứa cạnh AD với C là trung điểm của AD theo giả thiết, do đó BC là một đường trung tuyến của tam giác ABD. Theo đề bài, điểm G nằm trên đoạn thẳng BC và thỏa mãn điều kiện BG = 2 GC, điều này chứng tỏ G chính là trọng tâm của tam giác ABD (vì trọng tâm cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó). Mặt khác, giả thiết cho E là trung điểm của cạnh BD, nên AE cũng phải là một đường trung tuyến của tam giác ABD. Vì trọng tâm G phải nằm trên mọi đường trung tuyến của tam giác, nên điểm G chắc chắn thuộc đường trung tuyến AE. Vậy ba điểm A, G, E thẳng hàng.

b) Chứng minh đường thẳng DG đi qua trung điểm của AB:
Theo kết quả chứng minh ở câu a, G là trọng tâm của tam giác ABD. Trong một tam giác, ba đường trung tuyến luôn đồng quy tại trọng tâm. Do đó, đường thẳng đi qua đỉnh D và trọng tâm G (tức là đường thẳng DG) chính là đường trung tuyến thứ ba của tam giác ABD, xuất phát từ đỉnh D đến cạnh đối diện AB. Theo định nghĩa đường trung tuyến, đường thẳng này phải đi qua trung điểm của cạnh AB. Đây chính là điều phải chứng minh.

a) Chứng minh BD = CE:
Xét tam giác ABC cân tại A, ta có AB = AC và góc ABC bằng góc ACB. Vì BD và CE là hai đường trung tuyến nên D là trung điểm của AC và E là trung điểm của AB, suy ra AD = DC = AE = EB = 1/2 AB = 1/2 AC. Xét tam giác BDC và tam giác CEB có: cạnh BC chung, góc BCD bằng góc CBE (do tam giác ABC cân tại A), và cạnh DC bằng cạnh EB theo chứng minh trên. Do đó, tam giác BDC bằng tam giác CEB theo trường hợp cạnh-góc-cạnh, dẫn đến hai cạnh tương ứng BD = CE.

b) Chứng minh tam giác GBC cân:
Vì tam giác BDC bằng tam giác CEB (chứng minh ở câu a), ta suy ra góc DBC bằng góc ECB (hai góc tương ứng). Xét tam giác GBC có góc GBC (hay chính là góc DBC) bằng góc GCB (hay chính là góc ECB), nên tam giác GBC là tam giác cân tại G.

c) Chứng minh GD + GE > 1/2 BC:
Vì BD và CE là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC. Theo tính chất trọng tâm, ta có GD = 1/3 BD và GE = 1/3 CE. Mặt khác, ta cũng có GB = 2/3 BD và GC = 2/3 CE. Trong tam giác GBC, áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có GB + GC > BC, hay 2/3 BD + 2/3 CE > BC. Cộng vế với vế ta được 2/3 * (BD + CE) > BC, suy ra BD + CE > 3/2 BC. Thay BD = 3 GD và CE = 3 GE vào biểu thức này, ta được 3 GD + 3 GE > 3/2 BC. Chia cả hai vế cho 3, ta thu được điều phải chứng minh là GD + GE > 1/2 BC.

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G, suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC. Theo tính chất trọng tâm, ta có GB = 2/3 BM và GC = 2/3 CN. Xét tam giác GBC, áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có tổng hai cạnh GB + GC luôn lớn hơn cạnh còn lại là BC, hay GB + GC > BC. Thay các giá trị ở trên vào, ta được 2/3 BM + 2/3 CN > BC. Đặt 2/3 làm nhân tử chung, ta có 2/3 * (BM + CN) > BC. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với 3/2, ta thu được kết quả cuối cùng là BM + CN > 3/2 BC. Đây chính là điều phải chứng minh.