a: Ta có: BH⊥AC
CK⊥CA

Do đó: BH//CK

Ta có; CH⊥AB

BK⊥BA

Do đó: CH//BK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

b: BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HK

=>H,M,K thẳng hàng

c: Xét ΔMGH vuông tại G và ΔMGI vuông tại G có

MG chung

GH=GI

Do đó: ΔMGH=ΔMGI

=>MH=MI

mà MH=MK

nên MI=MH=MK

=>\(� � = \frac{� �}{2}\)

Xét ΔHIK có

IM là đường trung tuyến

\(� � = \frac{� �}{2}\)

Do đó: ΔHIK vuông tại I

=>HI⊥IK

mà HI⊥BC

nên BC//KI

Xét ΔCGH vuông tại G và ΔCGI vuông tại G có

CG chung

GH=GI

Do đó: ΔCGH=ΔCGI

=>CH=CI

mà CH=BK

nên BK=CI

Xét tứ giác BCKI có

BC//KI

BK=CI

Do đó: BCKI là hình thang cân

d: Xét ΔABC có

BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC

mà HG⊥BC

và AH,HG có điểm chung là H

nên A,H,G thẳng hàng

ΔAFH vuông tại F

mà FJ là đường trung tuyến

nên \(� � = \frac{� �}{2}\) (1)

ΔAEH vuông tại E

mà EJ là đường trung tuyến

nên \(� � = \frac{� �}{2} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1),(2) suy ra JF=JE

=>J nằm trên đường trung trực của EF(3)

ΔBFC vuông tại F

mà FM là đường trung tuyến

nên \(� � = \frac{� �}{2} \left(\right. 4 \left.\right)\)

ΔBEC vuông tại E

mà EM là đường trung tuyến

nên \(� � = \frac{� �}{2} \left(\right. 5 \left.\right)\)

Từ (4),(5) suy ra MF=ME

=>M nằm trên đường trung trực của FE(6)

Từ (3),(6) suy ra MJ là đường trung trực của EF

=>MJ⊥EF
e: JH=JE(=AH/2)

=>ΔJHE cân tại J

=>\(\hat{� � �} = \hat{� � �}\)

mà \(\hat{� � �} = \hat{� � �} \left(\right. = 9 0^{0} - \hat{� � �} \left.\right)\)

nên \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\)

ΔMEB có ME=MB(=BC/2)

nên ΔMEB cân tại M

=>\(\hat{� � �} = \hat{� � �}\)

\(\hat{� � �} = \hat{� � �} + \hat{� � �}\)

\(= \hat{� � �} + \hat{� � �} = 9 0^{0}\)