Lương Thảo Vân
Giới thiệu về bản thân
Để tìm độ cao cao nhất của quả bóng, chúng ta cần xác định phương trình của parabol quỹ đạo, sau đó tìm tọa độ đỉnh của parabol đó. Dưới đây là các bước giải chi tiết:
1. Thiết lập phương trình Parabol
Quỹ đạo của quả bóng có dạng một hàm số bậc hai (Parabol):
$$h(t) = at^2 + bt + c \quad (a \neq 0)$$Dựa vào dữ kiện đề bài, ta xác định được 3 điểm mà quỹ đạo đi qua:
- Tại thời điểm $t = 0$: Quả bóng được đá lên từ độ cao $1\,\text{m} \Rightarrow h(0) = 1$.
- Tại thời điểm $t = 1$: Quả bóng ở độ cao $8,5\,\text{m} \Rightarrow h(1) = 8,5$.
- Tại thời điểm $t = 2$: Quả bóng ở độ cao $6\,\text{m} \Rightarrow h(2) = 6$.
- Thay các giá trị $(t; h)$ vào phương trình tổng quát, ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình này:
- Từ $a + b = 7,5 \Rightarrow b = 7,5 - a$.
- Thế vào phương trình thứ ba: $4a + 2(7,5 - a) = 5 \Rightarrow 4a + 15 - 2a = 5 \Rightarrow 2a = -10 \Rightarrow \mathbf{a = -5}$.
- Tìm được $b$: $b = 7,5 - (-5) = \mathbf{12,5}$.
Vậy phương trình quỹ đạo của quả bóng là:
$$h(t) = -5t^2 + 12,5t + 1$$Độ cao cao nhất chính là tung độ của đỉnh Parabol. Quả bóng đạt độ cao này tại thời điểm:
$$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{12,5}{2 \cdot (-5)} = 1,25\,\text{(giây)}$$Thay $t = 1,25$ vào phương trình $h(t)$, ta tính được độ cao cực đại $h_{max}$:
$$h_{max} = -5(1,25)^2 + 12,5(1,25) + 1$$ $$h_{max} = -5(1,5625) + 15,625 + 1$$ $$h_{max} = -7,8125 + 15,625 + 1 = 8,8125\,\text{(m)}$$Vì đường thẳng $\Delta: 3x + 4y - 9 = 0$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C)$, nên khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $\Delta$ chính bằng bán kính $R$ của đường tròn.
Công thức tính khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0)$ đến đường thẳng $ax + by + c = 0$ là:
$$d(M, \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$Áp dụng vào bài toán với $I(7; 2)$ và $\Delta: 3x + 4y - 9 = 0$:
$$R = d(I, \Delta) = \frac{|3 \cdot 7 + 4 \cdot 2 - 9|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$$ $$R = \frac{|21 + 8 - 9|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{20}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} = 4$$Vậy bán kính $R = 4$, suy ra $R^2 = 16$.
Phương trình đường tròn có tâm $I(a; b)$ và bán kính $R$ có dạng:
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$Thay $a = 7, b = 2$ và $R^2 = 16$ vào, ta được:
$$(x - 7)^2 + (y - 2)^2 = 16$$Kết luận
Phương trình của đường tròn $(C)$ là: $(x - 7)^2 + (y - 2)^2 = 16$.
Nếu cần khai triển dưới dạng tổng quát:
$$x^2 + y^2 - 14x - 4y + 37 = 0$$Xét phương trình: \(x^2 - 2x - 1 = 0\)
Có các hệ số:\[a=1,b=-2,c=-1\]
Ta tính biệt thức \(\Delta'\)(hoặc \[\Delta\]
\[\Delta' = (b')^2 - ac = (-1)^2 - 1 \cdot (-1) = 1 + 1 = 2\]Vì\(\Delta' > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
- \[x_1 = \frac{-b' - \sqrt{\Delta'}}{a} = \frac{1 - \sqrt{2}}{1} = 1 - \sqrt{2}$ $x_2 = \frac{-b' + \sqrt{\Delta'}}{a} = \frac{1 + \sqrt{2}}{1} = 1 + \sqrt{2}\]
- và phương trình có hai nghiệm, ta có bảng xét dấu như sau:
- Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
Hoặc có thể viết là: $\{x \in \mathbb{R} \mid 1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}\}$.