\(a) Chứng minh $OA \perp BC$ tại $H$Ta có:$AB = AC$: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau (từ điểm $A$ đến đường tròn $(O)$).$OB = OC = R$: Bán kính của đường tròn $(O)$.Từ hai điều trên, ta suy ra $OA$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.$\Rightarrow$ $OA \perp BC$ tại $H$.b) Chứng minh $\widehat{ABE} = \widehat{ADB}$ và $AE \cdot AD = AB^2$1. Chứng minh $\widehat{ABE} = \widehat{ADB}$:Trong đường tròn $(O)$, $\widehat{ABE}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến $AB$ và dây cung $BE$.$\widehat{ADB}$ là góc nội tiếp chắn cung $BE$.Theo tính chất hình học, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung luôn bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó.$\Rightarrow$ $\widehat{ABE} = \widehat{ADB}$.2. Chứng minh $AE \cdot AD = AB^2$:Xét $\triangle ABE$ và $\triangle ADB$ có:$\widehat{A}$ là góc chung.$\widehat{ABE} = \widehat{ADB}$ (chứng minh trên).$\Rightarrow \triangle ABE \sim \triangle ADB$ (theo trường hợp g.g).Lập tỉ số đồng dạng: $\frac{AB}{AD} = \frac{AE}{AB} \Rightarrow \mathbf{AE \cdot AD = AB^2}$.c) Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi $OC, OD$ và cung nhỏ $CD$Để tính diện tích hình quạt, ta cần xác định số đo góc ở tâm $\widehat{COD}$.1. Tính góc $\widehat{COA}$:Xét $\triangle OBA$ vuông tại $B$ (do $AB$ là tiếp tuyến):$$\cos \widehat{BOA} = \frac{OB}{OA} = \frac{R}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})R} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$$Trục căn thức ở mẫu: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.Đây là giá trị lượng giác đặc biệt: $\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.$\Rightarrow \widehat{BOA} = 75^\circ$.Do $OA$ là tia phân giác của $\widehat{BOC}$, ta có: $\widehat{COA} = \widehat{BOA} = 75^\circ$.2. Tính góc $\widehat{COD}$:Vì $BD$ là đường kính nên $B, O, D$ thẳng hàng. Ta có:$$\widehat{COD} = 180^\circ - \widehat{COB} = 180^\circ - (\widehat{COA} + \widehat{BOA}) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$3. Tính diện tích hình quạt ($S_q$):Công thức: $S_q = \frac{\pi R^2 n}{360}$ (với $n = 30^\circ$).$$S_q = \frac{\pi R^2 \cdot 30}{360} = \mathbf{\frac{\pi R^2}{12}}$$\)

\(Thông số bài toán:Nhu cầu hàng năm ($D$): $2.500$ cái.Chi phí mỗi lần đặt hàng ($S$): $10$ (giả sử đây là chi phí cố định cho mỗi đơn hàng).Chi phí lưu kho mỗi đơn vị ($H$): $9$ mỗi cái/năm.Công thức tính toánĐể tìm số lượng đặt hàng tối ưu ($Q$), ta sử dụng công thức:$$Q = \sqrt{\frac{2DS}{H}}$$Thay số vào ta có:Tính tử số: $2 \times 2.500 \times 10 = 50.000$Chia cho mẫu số: $50.000 / 9 \approx 5.555,56$Lấy căn bậc hai: $\sqrt{5.555,56} \approx 74,53$Kết luậnCửa hàng nên đặt khoảng 75 cái ti vi mỗi lần để chi phí hàng tồn kho là thấp nhất.\)

\(\tan(\alpha)=\frac{\text{Đối}}{\text{Kề}}=\frac{12}{320}\tan(\alpha)=0,0375\alpha\approx2,1476^{\circ}Đổisangđộvàphút:\alpha\approx2^{\circ}9^{\prime}Kếtluận:Gócnghiênglàkhoảng2\degree9^{\prime}.b)Tìmkhoảngcáchkhigócnghiênglà50\degree Tacầntìmkhoảngcáchtừvịtríbắtđầuhạcánhđếnsânbay(x).Tươngtựcâua,tatìmcạnhkề:\tan(50^{\circ})=\frac{12}{x}x=\frac{12}{\tan(50^\circ)}Tínhtoán:x\approx\frac{12}{1,1917}\approx10,069Làmtrònđếnchữsốthậpphânthứnhất:x\approx10,1\text{ km}Kếtluận:Phicôngphảibắtđầuchomáybayhạcánhkhicáchsânbaykhoảng10,1km.\)

\(gọixlàsốhọcsinhdựthicủatrườngA(x\in\mathbb{N}^{*},x<1000).GọiylàsốhọcsinhdựthicủatrườngB(y\in\mathbb{N}^{*},y<1000).Dựavàotỉlệđỗchung:Tổngsốhọcsinhđỗlà840emvàđạttỉlệ84SốhọcsinhđỗcủatrườngAlà:80\%x=0,8xSốhọcsinhđỗcủatrườngBlà:90\%y=0,9yVìtổngsốhọcsinhđỗlà840,tacóphươngtrình:0,8x+0,9y=840\quad(2)từ(1)và(2),tacóhệ:\begin{cases}x+y=1000\\ 0,8x+0,9y=840\end{cases}Nhânphươngtrình(1)với0,8:\begin{cases}0,8x+0,8y=800\\ 0,8x+0,9y=840\end{cases}Lấyphươngtrìnhdướitrừphươngtrìnhtrên:0,1y=40\Rightarrow y=400Thayy=400vàophươngtrình(1):x+400=1000\Rightarrow x=600(Cảhaigiátrịđềuthỏamãnđiềukiệnbàitoán).Kếtluận:TrườngAcó600thísinhdựthi.TrườngBcó400thísinhdựthi.\)

\(a.RútgọnbiểuthứcPVớiđiềukiện0<x\neq1,tacó:P=\frac{\sqrt{x}}{x - \sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{x} + 2}+\frac{x + 2}{(\sqrt{x} - 1)(x + 2\sqrt{x})}P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}+\frac{2}{\sqrt{x} + 2}+\frac{x + 2}{(\sqrt{x} - 1)\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}P=\frac{1}{\sqrt{x} - 1}+\frac{2}{\sqrt{x} + 2}+\frac{x + 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)}P=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2) + 2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) + x + 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)}P=\frac{x + 2\sqrt{x} + 2x - 2\sqrt{x} + x + 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)}P=\frac{4x+2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)}.bTínhgiátrịcủaPkhix=3+2\sqrt{2}Tathấy:x=3+2\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}+1=(\sqrt{2}+1)^2.Suyra:\sqrt{x}=\sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2}=\sqrt{2}+1(vì\sqrt{2}+1>0).P=\frac{14 + 8\sqrt{2}}{(\sqrt{2} + 1) \cdot\sqrt{2} \cdot(\sqrt{2} + 3)}P=\frac{14 + 8\sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})}P=\frac{14 + 8\sqrt{2}}{6 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 2}P=\frac{14 + 8\sqrt{2}}{8 + 5\sqrt{2}}\)

\(A=2\sqrt{16 \cdot5}-2\sqrt{49 \cdot5}+\sqrt{36 \cdot5}A=2\cdot4\sqrt{5}-2\cdot7\sqrt{5}+6\sqrt{5}A=8\sqrt{5}-14\sqrt{5}+6\sqrt{5A=(8-14+6)\sqrt{5}A=0\cdot\sqrt{5}A=}A=(8-14+6)\sqrt{5}A=0\cdot\sqrt{5}A=0A=(8-14+6)\sqrt{5}A=0\cdot\sqrt{5}A=0\)