Xét \(\Delta B E D\) có \({vàMI//ED\\\&ME=BM}\) suy ra \(I D = I B\).

Xét \(\Delta C E D\) có \({vàNK//ED\\\&NC=ND}\) suy ra \(K E = K C\).

Suy ra \(M I = \frac{1}{2} E D\); \(N K = \frac{1}{2} E D\); \(E D = \frac{1}{2} B C\).

\(I K = M K - M I = \frac{1}{2} B C - \frac{1}{2} D E = D E - \frac{1}{2} D E = \frac{1}{2} D E\).

Vậy \(M I = I K = K N\).

Từ \(x + y + z = 0\) suy ra \(x + y = - z\)

\(x^{2} + 2 x y + y^{2} = z^{2}\)

\(x^{2} + y^{2} - z^{2} = - 2 x y\).

Tương tự ta có: \(y^{2} + z^{2} - x^{2} = - 2 y z\) và \(z^{2} + x^{2} - y^{2} = - 2 z x\).

Do đó \(A = \frac{x y}{- 2 x y} + \frac{y z}{- 2 y z} + \frac{z x}{- 2 z x} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}\).

Vậy \(A = - \frac{3}{2}\).

a) \(\Delta A B C\) vuông tại \(A\) suy ra \(\hat{B A C} = 9 0^{\circ}\) suy ra \(\hat{D A E} = 9 0^{\circ}\).

Do \(H D ⊥ A B\) suy ra \(\hat{H D A} = 9 0^{\circ}\); \(H E ⊥ A C\) suy ra \(\hat{H E A} = 9 0^{\circ}\).

Tứ giác \(A D H E\) có \(\hat{D A E} = \hat{H D A} = \hat{H E A} = 9 0^{\circ}\) suy ra tứ giác \(A D H E\) là hình chữ nhật. 

b) Do \(\Delta A H D\) vuông tại \(D\), áp dụng định lí Pythagore suy ra:

\(A H^{2} = A D^{2} + D H^{2}\)

\(25 = 16 + D H^{2}\)

\(D H^{2} = 9\) nên \(D H = 3\) cm.

Do \(A D H E\) là hình chữ nhật suy ra \(S_{A D H E} = A D . D H = 4.3 = 12\) (cm\(^{2}\)).

Vì đồ thị hàm số \(y = a x + b\) đi qua điểm \(A \left(\right. - 1 ; 2 \left.\right)\) nên ta có:

   \(2 = - 1. a + b\) suy ra \(- a + b = 2\)

Vi đồ thị hàm số \(y = a x + b\) đi qua điểm \(B \left(\right. 1 ; 4 \left.\right)\) nên ta có:

   \(4 = 1. a + b\) suy ra \(a + b = 4 \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1) và (2) ta tìm được \(a = 1 ; b = 3\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = x + 3\).

a) Thay \(x = 2\) (thỏa mãn điều kiện xác định) vào \(Q = \frac{x + 1}{x^{2} - 9}\), ta được:

\(Q = \frac{x + 1}{x^{2} - 9} = \frac{2 + 1}{2^{2} - 9} = \frac{3}{- 5} = - \frac{3}{5}\).

b) \(P = \frac{2 x^{2} - 1}{x \left(\right. x + 1 \left.\right)} - \frac{\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 1 \left.\right)}{x \left(\right. x + 1 \left.\right)} + \frac{3 x}{x \left(\right. x + 1 \left.\right)}\)

\(P = \frac{2 x^{2} - 1 - \left(\right. x^{2} - 1 \left.\right) + 3 x}{x \left(\right. x + 1 \left.\right)}\)

\(P = \frac{2 x^{2} - 1 - x^{2} + 1 + 3 x}{x \left(\right. x + 1 \left.\right)}\)

\(P = \frac{x^{2} + 3 x}{x \left(\right. x + 1 \left.\right)} = \frac{x + 3}{x + 1}\).

c) Ta có \(M = P . Q = \frac{x + 3}{x + 1} . \frac{x + 1}{x^{2} - 9} = \frac{x + 3}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)} = \frac{1}{x - 3}\)

\(M = \frac{- 1}{2}\) suy ra \(\frac{1}{x - 3} = \frac{- 1}{2}\)

\(x - 3 = - 2\)

\(x = 1\).

a) Thay \(x = 2\) (thỏa mãn điều kiện xác định) vào \(Q = \frac{x + 1}{x^{2} - 9}\), ta được:

\(Q = \frac{x + 1}{x^{2} - 9} = \frac{2 + 1}{2^{2} - 9} = \frac{3}{- 5} = - \frac{3}{5}\).

b) \(P = \frac{2 x^{2} - 1}{x \left(\right. x + 1 \left.\right)} - \frac{\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 1 \left.\right)}{x \left(\right. x + 1 \left.\right)} + \frac{3 x}{x \left(\right. x + 1 \left.\right)}\)

\(P = \frac{2 x^{2} - 1 - \left(\right. x^{2} - 1 \left.\right) + 3 x}{x \left(\right. x + 1 \left.\right)}\)

\(P = \frac{2 x^{2} - 1 - x^{2} + 1 + 3 x}{x \left(\right. x + 1 \left.\right)}\)

\(P = \frac{x^{2} + 3 x}{x \left(\right. x + 1 \left.\right)} = \frac{x + 3}{x + 1}\).

c) Ta có \(M = P . Q = \frac{x + 3}{x + 1} . \frac{x + 1}{x^{2} - 9} = \frac{x + 3}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)} = \frac{1}{x - 3}\)

\(M = \frac{- 1}{2}\) suy ra \(\frac{1}{x - 3} = \frac{- 1}{2}\)

\(x - 3 = - 2\)

\(x = 1\).