a) Gọi đường tròn lớn là (O; R) với R = OA. Gọi đường tròn nhỏ là (I; r) có đường kính OA. Khi đó tâm I là trung điểm của OA và bán kính r = OA/2 Khoảng cách giữa hai tâm là OI = OA/2 Ta thấy: R - r = OA -OA/2=OA/2 Vì khoảng cách giữa hai tâm bằng hiệu hai bán kính (OI = R - r), nên hai đường tròn tiếp xúc trong tại A.

a. Ba điểm J,I, J' cùng nằm trên một đường tròn theo thứ tự đó

Suy ra I nằm giữa J và J'

Xét (O)

Đường kính IJ

Suy ra O là trung điểm của IJ

Suy ra R=OI=OJ=IJ/2=10/2=5 cm

Xét (O') Đường kính IJ' Suy ra O' là trung điểm của IJ' Suy ra R=O'I=O'J'=IJ'/2=4/2=2cm

Vì I nằm giữa J và J'

O' là trung điểm của IJ'

O là trung điểm của IJ

Nên I nằm giữa O và O'

Khoảng cách giữa hai tâm là

OO'=OI+O'I=R+r=5+2=7 cm

Suy ra hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại điểm I

b. Có:+)A nằm trên đường tròn (O) đường kính IJ

Nên góc JAI=90°

+)A' nằm trên đường tròn (O') đường kính IJ'

Nên góc J'A'I=90°

Lại có ba điểm J, I, J' thẳng hàng

Nên góc AIJ= góc A'IJ'

Xét ∆A'IJ' và ∆AIJ

góc JAI=góc J'A'I=90°

góc A'IJ'=góc AIJ

Suy ra ∆A'IJ' đồng dạng với ∆AIJ

c. B nằm trên (O) đường kính IJ

Nên góc IBJ=90°

B' nằm trên (O') đường kính IJ' Nên góc I'B'J'=90°

Xét ∆IAB và ∆IA'B'

góc JAI=góc J'A'I=90°(câu b)

góc JBI=góc J'B'I=90°

góc AIB=góc A'IB'

Suy ra ∆IAB đồng dạng với ∆IA'B'

d.∆A'IJ' đồng dạng với ∆AIJ

Suy ra tỉ số đồng dạng IA/IA'=IJ/IJ'=10/4=5/2

∆IAB đồng dạng với ∆IA'B'

Suy ra tỉ số đồng dạng IA/IA'=IB/IB'=AB/A'B'=5/2

Ta có:+)∆ OAB cân tại O ( bán kính R)

+)∆ O'A'B'cân tại O'( bán kính r)

Ta có tỉ số cạnh bên OA/O'A'=5/2 và OB/O'B'=5/2

Tỉ số các cạnh đáy AB/A'B'=5/2

Suy ra OB/O'B'=OA/O'A'=AB/A'B'

Suy ra ∆ O'A'B' đồng dạng với ∆ OAB

a. Vì AOB và AO'C là các đường kính của đường tròn (O) và (O') tương ứng

Các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

Suy ra góc ADB=90°, góc AEC=90°

Gọi I là trung điểm của DE

=> I là trung điểm của tiếp tuyến chung DE

Xét ∆ADE

AI là trung tuyến ứng với cạnh DE

Xét ∆ADB vuông tại D
DI là trung tuyến ứng với cạnh huyền AB

Nên DI=AI=BI=1/2×AB

Xét ∆ADB vuông tại E

EI là trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

Nên EI=AI=CI=1/2×AC

Suy ra AI=DI=EI=1/2×DE

Xét ∆ADE

AI=DI=EI=1/2×DE

Suy ra ∆ADE vuông tại A

Nên góc DAE=90°

b. Xét tứ giác ASME

góc ADM=90°(góc ADB=90°)

góc DAE=90°(câu a)

góc AEM=90°( góc AEC=90°)

Suy ra ADME là hình chữ nhật

c. Vì ADME là hình chữ nhật

Suy ra hai đường chéo AM và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Gọi I là giao điểm của AM và DE

Nên I là trung điểm của AM và DE

Xét ∆ADB vuông tại D

DI là trung tuyến ứng với cạnh huyền AB

Suy ra AI=DI=BI=1/2×AB

Suy ra AI là bán kính của đường tròn (O)

Vì I là trung điểm của AM

Nên AI nằm trên đường thẳng AM

Xét (O)

AM vuông góc với AI (góc DAE=90°)

AI là bán kính

Suy ra AM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Xét ∆AEC vuông tại E

EI là trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

Nên EI=AI=CI=1/2×AC

Suy ra AI là bán kính của đường tròn (O')

Xét (O')

AI là bán kính

AM vuông góc với AI (góc DAE=90°)

Suy ra AM là tiếp tuyến của đường tròn (O')

Suy ra AM là tiếp tuyến của hai đường tròn (O) và (O')