a) Do AB,AC là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) nên ˆABO=ˆACO=900⇒B,C thuộc đường tròn đường kính  OA có tâm I là trung điểm OA.  

b) Ta có AM.AO=AB2.2AI=AB.AI.                                                                                     

c) Gọi E là trung điểm MA, do G là trọng tâm ΔCMA nên G∈CE và GECE=13.

Mặt khác MEBE=13  (vì ME=MA2=MB2nên ME=BE3) ⇒GECE=MEBE, theo định lý Ta-lét đảo ⇒MG//BC.

d) Gọi G′ là giao điểm của OA và CM⇒G′là trọng tâm ΔABC. Nên G′MCM=13=GECE′, theo định lý Ta-lét đảo GG′//ME  (1)

MI là đường trung bình trong ΔOAB⇒MI//OB, mà AB⊥OB  (cmt) ⇒MI⊥AB, nghĩa là MI⊥ME   (2).

Từ (1) và (2) cho MI⊥GG′, ta lại có GI′⊥MK (vì OA⊥MK) nên I là trực tâm ΔMGG′⇒GI⊥G′M tức GI⊥CM.

Trên nửa đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) đường kính \(A B\) lấy điểm \(C\) sao cho \(A C > B C\), (\(C\) khác \(A\) và B). Gọi \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(O A .\) Đường thẳng qua \(D\)và vuông góc với \(A B\) cắt \(A C\) tại E. Chứng  minh rằng:

a) Tứ giác \(B C E D\) nội tiếp đường tròn.

b) \(A C . A E = \frac{A B^{2}}{4}\).

a) Chứng minh ˆABC=ˆCHM.

Vì AM,CN là các đường cao của ΔABCnên {AM⊥BCCN⊥AB⇒ˆBMH=ˆBNH=90∘.

Xét tứ giác BNHM có ˆBMH+ˆBNH=90∘+90∘=180∘.

⇒BNHM là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800).

Tứ giác BNHM nội tiếp nên: ˆMBN+ˆNHM=180∘ hay ˆCBA+ˆNHM=180∘

mà ˆMBN+ˆNHM=180∘ (hai góc kề bù)

do đó ˆCBA=ˆMBN

b) Chứng minh ˆADC=ˆAHC.

Tứ giác BNHM nội tiếp nên: ˆMBN+ˆNHM=180∘

màˆAHC=ˆNHM (đối đỉnh)

nên ˆMBN+ˆAHC=180∘

hay ˆABC+ˆAHC=180∘

Mặc khác tứ giác BNHM nội tiếp đường tròn tâm (O) nên ˆADC+ˆABC=1800

Do đó ˆADC=ˆAHC

c) Chứng minh ˆMAC=ˆMNC.

Ta chứng minh ACMN là tứ giác nội tiếp.

Gọi  E là trung điểmAC.

Xét tam giác AMC có ˆAMC=900 và MElà đường trung tuyến nên EM=EC=EA=12AC (1)

Xét tam giác ANC có ˆANC=900 và NElà đường trung tuyến nên EN=EC=EA=12AC (2)

Từ (1)và (2) suy ra EM=EN=EC=EA

Vậy tứ giác ACMN nội tiếp được đường tròn có tâm E là trung điểmAC.

Suy ra ˆMAC=ˆMNC (góc nội tiếp cùng chắn cung MC của đường tròn tâm E)

d) Chứng minh ˆMAC+900=ˆANM.

Ta có ˆMAC+ˆACM=900 (hai góc phụ nhau)

Hay ˆACM=900−ˆMAC

Mà ˆACM+ˆANM=1800 ( tứ giác ACMN nội tiếp được đường tròn, câu c))

Nên 900−ˆMAC+ˆANM=1800

Suy ra ˆMAC+900=ˆANM

a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp.

- Xét đường tròn (I)

     ˆCFB=900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒CF⊥AB

     ˆCFB=900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒BE⊥AC

     Suy ra H là trực tâm của tam giácABChay AH⊥BC⇒ˆHDB=900

- Xét tứ giác BFHD

     ˆCFB=ˆHDB=900(chứng minh trên)

     ⇒ˆCFB+ˆHDB=1800

tứ giác BFHD có tổng hai góc đối ˆCFB,ˆHDB bằng 1800 nên tứ giác BFHDnội tiếp.

b)  Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp.

Gọi  O là trung điểmAB.

Xét tam giác ADB có ˆADB=900 và DO là đường trung tuyến nên OD=OA=OB=12AB (1)

Xét tam giác AEB có ˆAEB=900 và EO là đường trung tuyến nên OE=OA=OB=12AB (2)

Từ (1)và (2) suy ra OD=OE=OA=OB

Vậy tứ giác ABDE nội tiếp được đường tròn có tâm O là trung điểmAB.

Vì BD, CE là các đường cao của ∆ABC nên BD 

⊥ AC và CE ⊥ AB.

Suy ra ˆAEH=ˆADH=90∘.

Xét ∆AEH vuông tại E nên H, E, A thuộc đường tròn đường kính AH (1)

Xét ∆ADH vuông tại D nên D, A, H thuộc đường tròn đường kính AH (2).

Từ (1) và (2) suy ra A, E, D, H cùng thuộc một đường tròn.

Suy ra ADHE là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác BCDE. Gọi O là trung điểm của BC.

Vì BD, CE là các đường cao của ∆ABC nên DB ⊥ AC và CE ⊥ AB.

Suy ra ˆBDC=ˆBEC=90∘.

Xét tam giác BDC, có ˆBDC=90∘ và DO là trung tuyến nên OD = OC = OB = 12BC.

Xét tam giác BEC có ˆBEC=90∘ và EO là trung tuyến nên OE = OC = OB = 12BC.

Từ đấy suy ra OE = OC = OB = OD.

Vậy tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn tâm O là trung điểm BC.

câu 1 : thể loại của văn bản trên là truyện trinh thám

câu 2 : văn bản Vụ mất tích kì lạ có nhân vật : sherlock Holmes , cô Mary sutherland , hosmer angel; nhân vật chính là Sherlock Holmes

câu 3 :cần làm sáng tỏ sự biến mất đột ngột của hosmer angel khi đang ở hôn lễ

câu 4 : những chi tiết quan trọng là : chiếc máy đánh chữ , thư tay

câu 5 ; sherlock holmes có khả năng quan sát siêu phàm từ những chi tiết nhỏ; suy luận logic ; coi trọng công lý hơn luật pháp