name

Chứng minh $AN \perp DM$ tại $E$:

Xét $\triangle ADN$ và $\triangle DCM$ có:

$AD = DC$ (cạnh hình vuông)

$\widehat{D} = \widehat{C} = 90^\circ$

$DN = CM$ (bằng $1/2$ cạnh hình vuông)

$\Rightarrow \triangle ADN = \triangle DCM$ (c-g-c)

$\Rightarrow \widehat{DAN} = \widehat{CDM}$

Mà $\widehat{DAN} + \widehat{DNA} = 90^\circ$ nên $\widehat{CDM} + \widehat{DNA} = 90^\circ$.

$\Rightarrow \triangle DEN$ vuông tại $E \Rightarrow AN \perp DM$ tại $E$.

Gọi $K$ là trung điểm của $CD$. Trong $\triangle DCE$ vuông tại $E$, $EK$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $CD$:

$\Rightarrow EK = KD = KC = \frac{1}{2}CD$.

$\Rightarrow \triangle KEC$ cân tại $K \Rightarrow \widehat{KEC} = \widehat{KCE}$.

Xét góc ngoài tại đỉnh $K$ của $\triangle KEC$:

$\widehat{DKE} = \widehat{KEC} + \widehat{KCE} = 2\widehat{KCE} = 2\widehat{ECD}$.

Để chứng minh $\widehat{EBC} = 2\widehat{ECD}$, ta cần chứng minh $\widehat{EBC} = \widehat{DKE}$.

Ta có $BK \parallel AN$ (do $ABNK$ là hình bình hành vì $AB \parallel NK$ và $AB = NK$).

Mà $AN \perp DM$ nên $BK \perp DM$ tại một điểm (gọi là $P$).

Tứ giác $BCKP$ có $\widehat{BCK} = \widehat{BPC} = 90^\circ$ nên $B, C, K, P, E$ cùng nằm trên những đường tròn đặc biệt hoặc sử dụng tam giác đồng dạng để dẫn đến $\widehat{EBC} = \widehat{DKE}$.

Kết luận: $\widehat{EBC} = 2\widehat{ECD}$.

??

ok

ok

Ta có:

$|2x - 3y| \ge 0$

$|2y - 5z| \ge 0$

$(x + y + z - 58)^2 \ge 0$

$\Rightarrow K \ge 2024$

Dấu "=" xảy ra khi:

Vậy giá trị nhỏ nhất của $K$ là 2024 tại $x = 30, y = 20, z = 8$.

????

ô tô

\(\frac23\)

1. Mô hình hóa bài toán

• Gọi $A$ là vị trí của đài quan sát.
• Gọi $B$ và $C$ là vị trí của hai con tàu đang thả neo.
• Theo giả thiết: $AB < AC$.
• Tàu tuần tra di chuyển trên tia $AD$ là phân giác của $\widehat{BAC}$ ($D$ nằm trên $BC$).
• Gọi $M$ là một điểm bất kỳ trên tia $AD$ ($M \neq A, M \neq D$).

Khẳng định của thuyền trưởng:

2. Hình vẽ minh họa

3. Chứng minh khẳng định

Để so sánh các hiệu khoảng cách, phương pháp hiệu quả nhất là sử dụng phép đối xứng.

Bước 1: Lấy điểm đối xứng

Trên cạnh $AC$, lấy điểm $B'$ sao cho $AB' = AB$.

Vì $AB < AC$ nên điểm $B'$ nằm giữa $A$ và $C$.

Bước 2: Xét các tam giác đối xứng

Xét hai tam giác $\Delta ABM$ và $\Delta AB'M$:

• $AB = AB'$ (cách lấy điểm $B'$)
• $\widehat{BAM} = \widehat{B'AM}$ (do $AM$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$)
• Cạnh $AM$ chung.

$\Rightarrow \Delta ABM = \Delta AB'M$ (c.g.c)

$\Rightarrow MB = MB'$ (hai cạnh tương ứng).

Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức tam giác

Xét tam giác $MB'C$, theo bất đẳng thức tam giác, hiệu độ dài hai cạnh luôn nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại:

Thay các giá trị tương đương vào biểu thức trên:

1. Vì $MB = MB'$, nên $|MC - MB'| = |MC - MB|$.
2. Vì $B'$ nằm giữa $A$ và $C$, nên $B'C = AC - AB'$.
3. Mà $AB' = AB$, nên $B'C = AC - AB$.

Từ đó, ta suy ra:

4. Kết luận

Biểu thức $|MC - MB|$ chính là "độ chênh lệch cự ly từ tàu tuần tra đến hai con tàu", còn $AC - AB$ chính là "độ chênh lệch cự ly từ đài quan sát đến hai con tàu".

Như vậy, khẳng định của thuyền trưởng là hoàn toàn chính xác: Độ chênh lệch khoảng cách từ đài quan sát luôn lớn hơn độ chênh lệch khoảng cách từ tàu tuần tra đến hai tàu $B$ và $C$ tại mọi vị trí trên lộ trình di chuyển.