Xét tam giác ABC cân tại A nên AB=AC=12

​Xét tam giác ABC

\(\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{6}=6\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Hay AD=2BD

mà AD +BD =AB

nên 2BD+BD=AB

3BD=12

suy ra BD =4

nên AD=8

Vậy BD=4 (cm ) và AD=8 (cm)

có

\(\frac{B M}{A M} = \frac{B C}{A C} = \frac{a}{b}\) (Tính chất đường phân giác trong tam giác) (1)

\(\frac{C N}{A N} = \frac{B C}{A B} = \frac{a}{b}\) (Tính chất đường phân giác trong tam giác) (2)

từ (1) và (2) suy ra

\(\frac{B M}{A M}=\frac{C N}{A N}hay\frac{B M}{C N}=\frac{A M}{A N}\) 

nên MN//BC (định lý thales)

từ đó ta suy ra

\(\frac{A M}{A B}=\frac{M N}{B C}hay\frac{A M}{b}=\frac{M N}{a}\)  (3)

Ta có

\(\frac{A M}{B M} = \frac{A C}{B C} = \frac{b}{a}\) (Tính chất đường phân giác trong tam giác)

hay \(\frac{A M}{b}=\frac{B M}{a}=\frac{A M + B M}{a + b}=\frac{A B}{a + b}=\frac{b}{a + b}\)

suy ra \(AM=\frac{b^{2}}{a + b}\) Thay vào (3) được

\(\frac{\frac{b^{2}}{a + b}}{b}=\frac{M N}{a}hay\frac{b}{a + b}=\frac{M N}{a}suyraMN=\frac{a b}{a + b}\)