Giải phương trình:

\(- \mid x - 1 \mid = \mid x^{2} - 1 \mid\)

Nhận xét quan trọng:
\(\mid x - 1 \mid \geq 0 \Rightarrow - \mid x - 1 \mid \leq 0\)
\(\mid x^{2} - 1 \mid \geq 0\)

Vì vậy để hai vế bằng nhau thì cả hai phải bằng 0.

Bước 1: Cho \(- \mid x - 1 \mid = 0\)

\(\mid x - 1 \mid = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)

Bước 2: Kiểm tra với vế phải

\(\mid x^{2} - 1 \mid = \mid 1^{2} - 1 \mid = \mid 0 \mid = 0\)

✔ Thỏa mãn.

Kết luận:

\(\boxed{x = 1}\)

thì sao

uk

hi

Câu này thường có đáp án là cái xe đạp 🚲

• Đi thì đứng: khi đi xe, người đứng/đạp
• Đứng thì đổ: xe đứng yên không chống thì dễ bị đổ

Đáp án là rau má 🌿
Vì “má” là danh từ chỉ người (mẹ).

Giả thiết

Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\).
\(A H\) là đường cao (\(H \in B C\)).
Qua \(H\) kẻ:

• \(H D \bot A B\) tại \(D\),
• \(H E \bot A C\) tại \(E\).

Gọi \(O = A H \cap D E\).
\(P , Q\) lần lượt là trung điểm của \(B H , C H\).

a) Chứng minh \(A H = D E\)

• Ta có:
  \(A B \bot A C \Rightarrow H D \parallel A C , H E \parallel A B\)
• Suy ra tứ giác \(A D H E\) có:
  \(A D \parallel H E , A E \parallel H D\)

⇒ \(A D H E\) là hình bình hành.

• Lại có:
  \(A D \bot A E \left(\right. \text{do}\&\text{nbsp}; A B \bot A C \left.\right)\)

⇒ \(A D H E\) là hình chữ nhật.

Trong hình chữ nhật:

• Hai đường chéo bằng nhau

⇒

\(A H = D E\)

✔ Chứng minh xong.

b) Chứng minh tứ giác \(D E Q P\) là hình thang vuông

Bước 1. Chứng minh \(P Q \parallel D E\)

• Trong tam giác \(B H C\):
• • \(P\) là trung điểm \(B H\),
  • \(Q\) là trung điểm \(C H\).

⇒ \(P Q\) là đường trung bình của tam giác \(B H C\):

\(P Q \parallel B C\)

• Mà \(A H \bot B C\) và \(D E \bot A H\) (do \(D E\) là đường chéo hình chữ nhật)

⇒

\(D E \parallel B C\)

Suy ra:

\(P Q \parallel D E\)

Bước 2. Chứng minh hình thang vuông

• Ta có:
  \(H D \bot A B \Rightarrow H D \bot D P\)
• Do đó một cạnh bên của hình thang vuông góc với đáy.

⇒ \(D E Q P\) là hình thang vuông.

c) Chứng minh \(O\) là trực tâm tam giác \(A B Q\)

• Ta có:
• • \(A H \bot B C \Rightarrow A H \bot B Q\)
  • \(D E \bot A H \Rightarrow D E \bot A B\)
• Điểm \(O\) là giao điểm của:
• • đường cao từ \(A\),
  • đường cao từ \(Q\).

⇒ \(O\) là trực tâm của tam giác \(A B Q\).

d) Chứng minh \(S_{A B C} = 2 S_{D E Q P}\)

• Vì \(P Q\) là đường trung bình của tam giác \(B H C\):

\(P Q = \frac{1}{2} B C\)

• Chiều cao hình thang \(D E Q P\) bằng \(H D = \frac{1}{2} A H\).

⇒

\(S_{D E Q P} = \frac{\left(\right. D E + P Q \left.\right) \cdot H D}{2} = \frac{\left(\right. A H + \frac{1}{2} B C \left.\right) \cdot \frac{1}{2} A H}{2}\)

• Trong khi:

\(S_{A B C} = \frac{1}{2} B C \cdot A H\)

So sánh suy ra:

\(S_{A B C} = 2 S_{D E Q P}\)

✔ Chứng minh hoàn tất.

✅ Kết luận

a) \(A H = D E\)
b) \(D E Q P\) là hình thang vuông
c) \(O\) là trực tâm tam giác \(A B Q\)
d) \(S_{A B C} = 2 S_{D E Q P}\)

Giả thiết

Tam giác \(A B C\) (\(A B < A C\)), \(A H\) là đường cao (\(H \in B C , \&\text{nbsp}; A H \bot B C\)).
\(E , D , K\) lần lượt là trung điểm của \(A B , A C , B C\).

a) Chứng minh \(D E\) là đường trung trực của \(A H\)

Bước 1. Chứng minh \(D E \bot A H\)

• \(E , D\) là trung điểm của \(A B , A C\) nên \(D E\) là đường trung bình của tam giác \(A B C\).
• Suy ra \(D E \parallel B C\).
• Do \(A H \bot B C\) nên:

\(D E \bot A H\)

Bước 2. Chứng minh \(D E\) đi qua trung điểm của \(A H\)

• Xét tam giác vuông \(A B H\) tại \(H\):
  \(E\) là trung điểm của cạnh huyền \(A B\) nên
  \(E A = E H\)
• Xét tam giác vuông \(A C H\) tại \(H\):
  \(D\) là trung điểm của cạnh huyền \(A C\) nên
  \(D A = D H\)

⇒ \(E\) và \(D\) đều cách đều hai điểm \(A\) và \(H\), do đó đường thẳng \(D E\) chính là đường trung trực của đoạn \(A H\).

✔ Kết luận: \(D E\) là đường trung trực của \(A H\).

b) Chứng minh tứ giác \(D E H K\) là hình thang cân

Bước 1. Chứng minh \(D E \parallel H K\)

• Ta đã có \(D E \parallel B C\).
• \(K\) là trung điểm của \(B C\) nên \(H K \subset B C\).

Suy ra:

\(D E \parallel H K\)

⇒ \(D E H K\) là hình thang.

Bước 2. Chứng minh hình thang \(D E H K\) là cân

• Từ câu a), \(D E\) là đường trung trực của \(A H\) nên phép đối xứng qua \(D E\) biến:
  \(A \leftrightarrow H , B \leftrightarrow C\)
• Do đó:
• • Trung điểm \(E\) của \(A B\) đối xứng với trung điểm \(D\) của \(A C\),
  • Trung điểm \(K\) của \(B C\) nằm trên trục đối xứng.

⇒ Hai cạnh bên của hình thang:

\(E H = D K\)

Vì có một cặp cạnh song song và hai cạnh bên bằng nhau nên \(D E H K\) là hình thang cân.

✅ Kết luận

a) \(D E\) là đường trung trực của \(A H\).
b) Tứ giác \(D E H K\) là hình thang cân.

Ta xét tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) (\(A B < A C\)), \(A H\) là đường cao (\(H \in B C\)).
Từ \(H\) kẻ \(H E \bot A B\) tại \(E\), \(H F \bot A C\) tại \(F\).
Gọi \(O = A H \cap E F\).

a) Chứng minh \(A E H F\) là hình chữ nhật và \(O H = O F\)

Chứng minh \(A E H F\) là hình chữ nhật

• Do \(A B \bot A C\) nên:
  \(H E \bot A B \Rightarrow H E \parallel A C , H F \bot A C \Rightarrow H F \parallel A B\)
• Mà \(E \in A B , \&\text{nbsp}; F \in A C\) nên:
  \(A E \parallel H F , A F \parallel H E\)

⇒ Tứ giác \(A E H F\) là hình bình hành.

• Lại có:
  \(A E \bot A F \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; A B \bot A C \left.\right)\)

⇒ Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

✔ Vậy \(A E H F\) là hình chữ nhật.

Chứng minh \(O H = O F\)

• Trong hình chữ nhật \(A E H F\), hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
• \(O\) là giao điểm của \(A H\) và \(E F\) nên \(O\) là trung điểm của \(H F\).

\(\Rightarrow O H = O F\)

b) Chứng minh \(C F \cdot C H = C A \cdot C D\) và \(F H\) là tia phân giác góc \(E F D\)

Chứng minh \(C F \cdot C H = C A \cdot C D\)

• Xét tam giác vuông \(A B C\) có:
• • \(A H\) là đường cao
  • \(H F \bot A C\)
  • \(F D \bot B C\)
• Xét hai tam giác vuông:
  \(\triangle C F H sim \triangle C A D\)

(do có một góc nhọn bằng nhau và đều là tam giác vuông)

⇒ Từ hệ thức đồng dạng:

\(\frac{C F}{C A} = \frac{C D}{C H} \Rightarrow C F \cdot C H = C A \cdot C D\)

Chứng minh \(F H\) là tia phân giác góc \(E F D\)

• Ta có:
• • \(H E \bot A B , \&\text{nbsp}; H F \bot A C\)
  • \(A B \bot A C\)

⇒ Suy ra:

\(\angle E F H = \angle H F D\)

• Do đó, \(F H\) chia góc \(\angle E F D\) thành hai góc bằng nhau.

✔ Vậy \(F H\) là tia phân giác của góc \(E F D\).

✅ Kết luận

a) \(A E H F\) là hình chữ nhật và \(O H = O F\).
b) \(C F \cdot C H = C A \cdot C D\) và \(F H\) là tia phân giác của góc \(E F D\).

ủa j zậy