a)ABCD là hình bình hành nên hai đường chéoAC,BD cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đường.

Xét ΔOBM và ΔODP có:

     OB=OD ( giả thiết)

     OBM=ODP (so le trong)

     BOM=DOP (đối đỉnh)

Vậy ΔOBM=ΔODP (g.c.g)

Suy ra OM=OP (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tựΔOAQ=ΔOCN (g.c.g) suy ra OQ=ON (hai cạnh tương ứng)

MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Hình bình hànhMNPQ có hai đường chéo MP⊥NQ nên là hình thoi.

a) ABCD là hình bình hành nênAB=DC suy ra 21​AB=21​DC

Do đó AM=BM=DN=CN.

Tứ giác AMCN có AM // NC,AM=NC nên là hình bình hành.

Lại có ΔADC vuông tại A cóAN là đường trung tuyến nênAN=21​DC=DN=CN.

Hình bình hành AMCN có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo AC,MN vuông góc với nhau.

b) Tứ giác AMCN là hình thoi.(dhnb)

Ta có ABCD là hình thoi nên AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên BD là trung trực của AC

Suy ra GA=GC,HA=HC (1)

Và AC là trung trực của BD => AG=AH,CG=CH (2)

Từ (1),(2) => AG=GC=CH=HA => AGCH là hình thoi. (dhnb)

a) Tứ giác DKMN có D=K=N=90∘ nên là hình chữ nhật.

bVì DKMN là hình chữ nhật nên DF // MH

Xét ΔKFM và ΔNME có:

     K=N=90∘

   FM=ME ( giả thiết)

     KMF=E (đồng vị)

Vậy ΔKFM=ΔNME (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra KF=MN (hai cạnh tương ứng) mà MN=DK nên DF=2DK và MH=2MN.

Do đó DF=MH.

Tứ giác DFMH có DF // MH,DF=MH nên là hình vuông (dhnb)

a) VìAB=2BC suy ra BC= AB/2=AD

ABCD là hình chữ nhật nên AB=DC suy ra 1/2AB=1/2DC do đó AI=DK=AD

Tứ giác AIKD có AI//DK, AI=DK nên tứ giác AIKD là hình bình hành 

Lại có AD=AI nên AIKD là hình thoi

Mà góc IAD= 90 độ do đó AIKD là hình vuông

Vậy tứ giác AIKD là hình vuông

Chứng minh tương tự cho tứ giác BIKC

Vậy tứ gáic BIKC là hình vuông

b) VÌ AIKD là hình vuông nên DI là tia phân giác góc ADK nên góc IDK = 45 độ

Tương tự góc ICK = 45 độ

Tam giác IDC cân có góc DIC = 90 độ nên là tam gaic vuông cân 

Vậy tam giác IDC là tam gáic  vuông cân

c) Vì AIKD, BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt  nhau tại trung điểm mỗi đường nên SI=SK=DI/2 và IR=RK=IC/2

 =>ISKR là hình thoi

Lại có góc DIC= 90 độ nên ISKR là hình vuông

Vậy ISKR là hình vuông

a/

Ta có

IA=IC (gt); IM=IK (gt) => AMCK là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Ta có

MB=MC (gt); IA=IC (gt) => MI là đường trung bình của tg ABC => MI//AB

Mà \(A B \bot A C\) 

\(\Rightarrow M I \bot A C \Rightarrow M K \bot A C\)

=> AMCK là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi)

b/

Ta có

MI//AB (cmt) => MK//AB

AK//MC (cạnh đối hbh AMCK) => AK//MB

=> AKMB là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

c/

Để AMCK là hình vuông \(\Rightarrow A M \bot B C\) => AM là đường cao của tg ABC

Mà AM là trung tuyến của tg ABC (gt)

=> ABC cân tại A (Tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến là tg cân)

=> Để AMCK là hình vuông thì tg ABC vuông cân tại A

a) Tứ giácAMCK có hai đường chéo AC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên AM=MC=MB.

Vậy hình bình hành AMCK có AM=MC nên là hình thoi.(dhnb)

b) Vì AMCK là hình thoi nên AK // BM và AK=MC=BM.

Tứ giác AKMB có AK // BM,AK=BM nên là hình bình hành.(dhnb)

c) Để AMCK là hình vuông thì cần có một góc vuông hay AM⊥MC.

Khi đó ΔABC có AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại A.

Vậy ΔABC vuông cân tại A thì AMCK là hình vuông.

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên ta có:

Góc B = Góc C (t/c tam giác cân)

mà Góc A = 90 độ suy ra Góc B = Góc C = (180 độ - Góc A)/2 = 45 độ

Xét tam giác BHE có: Góc EBH + Góc BEH + Góc EHB= 180 độ (tổng 3 góc của 1 tam giác)

t/s: 45 + BEH + 90 = 180

=> BEH=45 độ

Xét tam giác BHE có : BEH = EBH = 45 độ

=> tam giác BHE vuông cân tại H (dhnb) => BH = EH (T/C)

b) CMTT câu a => tam giác FGC vuông cân tại G => GF = GC (T/C)

Mà BH = GC (gt) => HE = GF

Ta có: HE vuông góc với BC

FG vuông góc với BC

=> HE // GF (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác EFGH có : HE = GF (cmt)

HE // GF (cmt)

=> tứ giác EFGH là HBH (dhnb)

mà góc EHG = 90 độ

=> EFGH là HCN (dhnb)

lại có HE = HG (HE = HB; HB = HG)

=> EFGH là HV (dhnb)

xét tứ giác OBAC có:

Góc ACO = 90 độ (Vì AC vuông góc với Oy)

Góc COB = 90 độ (gt)

Góc OBA = 90 độ (AB vuôgn góc với Ox)

Suy ra tứ giác OBAC là HCN (dhnb)

mà OM là tia phân giác góc COB

A thuộc Om

Nên OA là tia phân giác góc COB

Xét HCN OBAC có:

OA là tia phân giác (cmt)

Suy ra OBAC là HV (dhnb)