Bài giải

Gọi \(x\) (cm) là độ rộng viền khung ảnh \(\left(\right. x > 0 \left.\right)\).

Khi đó kích thước khung ảnh bên ngoài là:

• Chiều dài: \(25 + 2 x\) (cm)
• Chiều rộng: \(17 + 2 x\) (cm)

Diện tích cả khung ảnh là:

\(S = \left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right)\)

Theo đề bài:

\(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right) \leq 513\)

Khai triển:

\(425 + 84 x + 4 x^{2} \leq 513\)\(4 x^{2} + 84 x - 88 \leq 0\)

Chia cả hai vế cho 4:

\(x^{2} + 21 x - 22 \leq 0\)

Giải phương trình:

\(x^{2} + 21 x - 22 = 0\)\(x = \frac{- 21 \pm 23}{2}\)\(x_{1} = - 22 , x_{2} = 1\)

Vì \(x > 0\) nên:

\(0 < x \leq 1\)

Vậy độ rộng viền khung ảnh tối đa là \(1\) cm.

Đáp số: \(1\) cm.

Câu 18

\(\left(\right. C \left.\right) : \left(\right. x - 3 \left.\right)^{2} + \left(\right. y + 2 \left.\right)^{2} = 36\)

⇒ Tâm \(I \left(\right. 3 ; - 2 \left.\right)\), bán kính \(R = 6\).

\(\Delta : 3 x + 4 y + 7 = 0\)

a) tính : \(cos ⁡ \alpha\)

\(\Delta : 3 x + 4 y + 7 = 0 \Rightarrow \left(\right. a_{1} , b_{1} \left.\right) = \left(\right. 3 , 4 \left.\right)\)\(\Delta_{1} : 5 x - 12 y + 7 = 0 \Rightarrow \left(\right. a_{2} , b_{2} \left.\right) = \left(\right. 5 , - 12 \left.\right)\)

Công thức:

\(cos ⁡ \alpha = \frac{\mid a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} \mid}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}\)\(cos ⁡ \alpha = \frac{\mid 3 \cdot 5 + 4 \left(\right. - 12 \left.\right) \mid}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}} \sqrt{5^{2} + \left(\right. - 12 \left.\right)^{2}}}\)\(= \frac{\mid 15 - 48 \mid}{5 \cdot 13} = \frac{33}{65}\)\(\boxed{cos ⁡ \alpha = \frac{33}{65}}\)

b)

Đường thẳng vuông góc với \(\Delta\) có dạng:

\(4 x - 3 y + d = 0\)

Vì tiếp xúc với \(\left(\right. C \left.\right)\):

\(d \left(\right. I , \Delta^{'} \left.\right) = R\)\(\frac{\mid 4 \cdot 3 - 3 \left(\right. - 2 \left.\right) + d \mid}{\sqrt{4^{2} + \left(\right. - 3 \left.\right)^{2}}} = 6\)\(\frac{\mid 12 + 6 + d \mid}{5} = 6\)\(\mid 18 + d \mid = 30\)\(18 + d = 30 \Rightarrow d = 12\)\(18 + d = - 30 \Rightarrow d = - 48\)

Vậy các đường thẳng cần tìm:

\(4x-3y+12=0\)

\(4x-3y-48=0\)

Câu 1

Ta có: \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{2} + \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m + 5\)

Vì \(f \left(\right. x \left.\right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên cần:

• \(a > 0\)
• \(\Delta < 0\)

Ở đây: \(a = 1 > 0\) (luôn đúng)

Tính \(\Delta\):

\(\Delta = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. m + 5 \left.\right)\)\(= \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m + 5 \left.\right)\)\(= m^{2} - 2 m + 1 - 4 m - 20\)\(= m^{2} - 6 m - 19\)

Điều kiện:

\(m^{2} - 6 m - 19 < 0\)

Giải bất phương trình:

\(m^{2} - 6 m - 19 = 0\)\(m = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 76}}{2}\)\(m = \frac{6 \pm \sqrt{112}}{2} = 3 \pm 2 \sqrt{7}\)

Suy ra:

\(3 - 2 \sqrt{7} < m < 3 + 2 \sqrt{7}\)

Vậy \(m\) thỏa mãn:

\(\boxed{3 - 2 \sqrt{7} < m < 3 + 2 \sqrt{7}}\)

Câu2

Điều kiện:

\(x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\)

Bình phương hai vế:

\(2x^2-8x+4x=\left(x-2\right)^2\)

\(2x^2-8x+4=x^2-4x+4\)

\(x^2-4x=0\)

\(x\left(x-4\right)=0\)

\(x=0\) hoặc \(x=4\)

Vì \(x\ge2\) nên \(x=0\) ( loại) , \(x=4\) ( t/m)

Vậy nghiệm của phương trình là : \(x=4\)