Gọi chiều dài đoạn dây điện kéo từ \(A\) đến \(B\) là \(A B = x\) (km).

Khi đó chiều dài dây điện kéo từ \(B\) đến \(C\) là cạnh huyền của tam giác vuông, ta áp dụng định lý pythagore được:

 \(BC=\sqrt{1+\left(5-x\right)^2}=\sqrt{x^{2} - 10 x + 26}\) (km)

Tổng tiền công là:

 \(3 \sqrt{x^{2} - 10 x + 26} + 2 x = 13\)
\(\Leftrightarrow 3 \sqrt{x^{2} - 10 x + 26} = 13 - 2 x\)

\(\lrArr\begin{cases}13-2x\ge0\\ 3^2\left(x^2-10x+26\right)=13^2-13\cdot2\cdot2x+\left(2^{}x\right)^2\end{cases}\)

\(\lrArr\begin{cases}13-2x\ge0\\ 9\left(x^2-10x+26\right)=169-52x+4x^2\end{cases}\)

\(\lrArr\begin{cases}x\le\frac{13}{2}\\ 5x^2-38x+65=0\end{cases}\)

\(\lrArr\begin{cases}x\le\frac{13}{2}\\ \left[\begin{array}{l}x=5\\ x=\frac{13}{5}\end{array}\right.\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{13}{5}\).

Khi đó:

 \(A B = x = \frac{13}{5} \Rightarrow B C = \frac{13}{5}\)(km).

Khi đó tổng chiều dài dây điện đã kéo từ \(A\) đến \(C\) là:

\(AB+BC=\frac{26}{5}=5,2\) (km).

a) Vectơ pháp tuyến đường thẳng \(\Delta\) và \(\Delta_{1}\) là: \(\overset{\rightarrow}{n_{\Delta}} = \left(\right. 3 ; - 4 \left.\right)\) và \(\overset{\rightarrow}{n_{\Delta_{1}}} = \left(\right. 12 ; - 5 \left.\right)\)

Ta có công thức tính cosin của góc alpha giữa hai đường thẳng là:

\(\cos\alpha=\frac{\left\vert\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{n}_1\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{n}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{n}_1\right\vert}\)

Thay số vào ta có:\(\cos\alpha=\frac{\left\vert3\cdot12+\left(-4\right)\cdot\left(-5\right)\right\vert}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}\cdot\sqrt{12^2+\left(-5\right)^2}}=\frac{56}{5\cdot13}=\frac{56}{65}\)

b) \(\left(\right. C \left.\right)\) có tâm \(I \left(\right. - 3 ; 2 \left.\right)\), bán kính \(R = 6\)

Đường thẳng \(d\) có dạng:

  \(3 x - 4 y + m = 0\) (\(m\ne7\)  \(\))

\(d\) tiếp xúc \(\left(\right. C \left.\right)\) khi và chỉ khi \(d \left(\right. I , d \left.\right) = R \Leftrightarrow \frac{\mid - 9 - 8 + m \mid}{5} = 6\)

Ta tìm được:

 \(m = 47\) (TM), 

\(m = - 13\) (TM) 

Vậy có \(2\) đường thẳng \(d\) thỏa mãn là:

 \(d_1:3x-4y+47=0\) 

 \(d_2:3x-4y-13=0\)

a) Ta có bất phương trình: \(- 2 x^{2} + 18 x + 20 \geq 0\)

Phương trình: \(- 2 x^{2} + 18 x + 20 = 0\) có \(2\) nghiệm  \(x_{1} = - 1 , x_{2} = 10\)

-110xf (x)

Lập bảng xét dấu :\(f \left(\right. x \left.\right) = - 2 x^{2} + 18 x + 20\)

Vậy \(S = \left[\right. - 1 , 10 \left]\right.\).

b) \(\sqrt{2 x^{2} - 8 x + 4} = x - 2\)

Bình phương hai vế ta được phương trình:

 \(2x^2–8x+4=\left(\right.x–2\left.\right)^2\lrArr2x^2-8x+4=x^2-4x+4\)

Rút gọn phương trình:  \(x^{2} – 4 x = 0\)  có hai nghiệm

 \(x_{1} = 0 , x_{2} = 4\).

Thử lại nghiệm ta được:

\(x=0\) Không thỏa mãn phương trình

 \(x = 4\) thỏa mãn phương trình.

Vậy \(S = 4\).

Kích thước của cả khung ảnh là: \(\left(\right. 17 + 2 x \left.\right)\) cm x \(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right)\) cm (ĐK: \(x > 0\))

Diện tích cả khung ảnh là:

S = \(\left(\right. 17 + 2 x \left.\right) . \left(\right. 25 + 2 x \left.\right) = 4 x^{2} + 84 x + 425\)

Để diện tích của cả khung ảnh lớn nhất là \(513\) cm² :

\(\rArr\)   \(S\leq513\rArr4x^2+84x+425\leq513\)\(\Rightarrow 4 x^{2} + 84 x - 88 \leq 0 \Leftrightarrow - 22 \leq x \leq 1\).

Vì \(x > 0\) nên \(x \in \left(\right. 0 ; 1 \left]\right.\)

\(\rArr\) phải làm độ rộng viền khung ảnh tối đa \(1\) (cm).

\(a,\) \(\overrightarrow{n}_{\Delta}=(3;4);\)

\(\overrightarrow{n}_{\Delta_1}=(5;-12)\)

\(\cos\alpha=\left\vert\cos\left(\overrightarrow{n}_{\Delta};\overrightarrow{n}_{\Delta_1}\right)\right\vert=\frac{\left\vert3.5+4.(-12)\right\vert}{\sqrt{3^2+4^2}.\sqrt{5^2+(-12)^2}}=\frac{33}{65}\)

\(b,\)  \(\left(\right. C \left.\right)\) có tâm \(I \left(\right. 3 ; - 2 \left.\right)\), bán kính \(R = 6\)

Đường thẳng \(d\) có dạng \(4 x - 3 y + m = 0\) (\(m\) khác \(7\))

\(d\) tiếp xúc \(\left(\right. C \left.\right)\) khi và chỉ khi \(d \left(\right. I , d \left.\right) = R \Leftrightarrow \frac{\mid 12 + 6 + m \mid}{5} = 6\).

Được \(m = - 48\)(TM), \(m = 12\) (TM)

\(\rArr\) hai đường thẳng \(d\) thỏa mãn là \(4 x - 3 y - 48 = 0\) và \(4 x - 3 y + 12 = 0\).

\(a,\) Ta có \(f\left(\right.x\left.\right)=x^2+\left(\right.m-1\left.\right)x+m+5\) có \(\Delta^{^{}}=\left(\right.m-1\left.\right)^2-4.1.\left(\right.m+5\left.\right)=m^2-6m-19\)

Lại có hệ số \(a = 1 > 0\).

Để \(f \left(\right. x \left.\right)\) luôn dương (cùng dấu hệ số \(a\)) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì \(\Delta^{^{}}<0\) \(\Leftrightarrow m^2-6m-19<0\).

Xét tam thức \(h\left(\right.m\left.\right)=m^2-6m-19\) có \(\Delta_{m}=\left(-6\right)^2-4.\left(-19\right)=112>0\) nên \(h \left(\right. m \left.\right)\) có hai nghiệm là \(m_1=3+2\sqrt7\) và \(m_2=3-2\sqrt7\).

Ta có bảng xét dấu của \(h \left(\right. m \left.\right)\):

mh(m)+3-2/73+2/7-++00

Do đó \(h \left(\right. m \left.\right) < 0\) với mọi \(x\in\left(3+2\sqrt7;3-2\sqrt7\right)\)

Hay \(\Delta^{^{}}<0\) với mọi \(x\in\left(3+2\sqrt7;3-2\sqrt7\right)\)

Vậy \(x\in\left(3+2\sqrt7;3-2\sqrt7\right)\) thì tam thức bậc hai \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{2} + \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m + 5\) dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

\(b,\)  Bình phương hai vế ta được: \(2 x^{2} - 8 x + 4 = x^{2} - 4 x + 4\)

\(\Leftrightarrow x^{2} - 4 x = 0\)

\(\rArr\)  \(x = 0\) hoặc \(x = 4\)

Thử lại nghiệm được \(x = 4\) thỏa mãn phương trình đã cho.