Xét tam giác A B C có BC\bot AB^{^{\prime}} và B^{'} C^{'} \bot A B^{'} nên suy ra B C // B^{'} C^{'}.

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có: \frac{A B}{A B^{'}}=\frac{B C}{B C^{'}}

Suy ra \frac{x}{x + h}=\frac{a}{a^{'}}

a^{'} . x = a \left(\right. x + h \left.\right)

a^{'} . x - a x = a h

x \left(\right. a^{'} - a \left.\right) = a h

x=\frac{ah}{a^{^{\prime}}-a}.

Trong tam giác A D B, ta có: M N // A B (gt)

Suy ra \frac{D N}{D B} \&\text{nbsp}; = \frac{M N}{A B} (hệ quả định lí Thalès) (1)

Trong tam giác A C B, ta có: P Q // A B (gt)

Suy ra \frac{C Q}{C B} \&\text{nbsp}; = \frac{P Q}{A B} (hệ quả định lí Thalès) (2)

Lại có: N Q // A B (gt); A B // C D (gt)

Suy ra N Q // C D

Trong tam giác B D C, ta có: N Q // C D (chứng minh trên)

Suy ra \frac{D N}{D B} \&\text{nbsp}; = \frac{C Q}{C B} (định lí Thalès) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \frac{M N}{A B} \&\text{nbsp}; = \frac{P Q}{A B} \&\text{nbsp}; h a yMN = PQ$ (đpcm).

Khi đó, A D là đường trung tuyến của tam giác A B C.

Vì G là trọng tâm của tam giác A B C nên điểm G nằm trên cạnh A D.

Ta có \frac{A G}{A D} = \frac{2}{3} hay A G = \frac{2}{3} A D.

Vì M G // A B, theo định lí Thalès, ta suy ra: \frac{A G}{A D} = \frac{B M}{B D} = \frac{2}{3}.

Ta có B D = C D (vì D là trung điểm của cạnh B C) nên \frac{B M}{B C} = \frac{B M}{2 B D} = \frac{2}{2.3} = \frac{1}{3}.

Do đó B M = \frac{1}{3} B C (đpcm).

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác:

D E // A C nên \frac{A E}{A B} = \frac{C D}{B C};

D F // A C nên \frac{A F}{A C} = \frac{B D}{B C}.

Khi đó, \frac{A E}{A B} + \frac{A F}{A C} = \frac{C D}{B C} + \frac{B D}{B C} = \frac{B C}{B C} = 1.