1. 

Xét △AEB và △AFC, có:

∘ ˆBAC chung

∘ ˆAEB=ˆAFC=90o

⇒ △AEB∽△AFC(gg)

⇒ AEAB=AFAC(2tutl)

Xét △AEF và △ABC, có:

∘ ˆBAC chung

∘ AEAB=AFAC(cmt)

⇒ △AEF∽△ABC(cgc)

⇒ SAEFSABC=AE2AB2

Ta có: △ABE vuông tại E và ˆA=60o

→ △ABE là nửa tam giác đều

⇒ AEAB=12

⇒ SAEFSABC=14

⇒ SAEF120=14

⇒ SAEF=120:4.1=30(cm2)

Vì EA = ED, FB = FC (gt) Nên EF là đường trung bình của hình thang ABCD. Do đó: EF // AB // CD ∆ABC có BF = FC và FK // AB nên: AK = KC

a) Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A B / / C D ; A D / / B C\)

\(\Rightarrow A B / / D G ; A B / / C G ; B K / / A D ; K C / / A D\)

Xét tam giác \(D E G\) có \(A B / / D G\), theo hệ quả của định lí Thales ta có:

\(\frac{A E}{E G} = \frac{E B}{E D}\) (1)

Xét tam giác \(A D E\) có \(B K / / A D\), theo hệ quả của định lí Thales ta có:

\(\frac{E K}{A E} = \frac{E B}{E D}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra, \(\frac{A E}{E G} = \frac{E K}{A E} \Rightarrow A E^{2} = E G . E K\) (điều phải chứng minh).

b) Xét tam giác \(A E D\) có:

\(A D / / B K \Rightarrow \frac{A E}{A K} = \frac{D E}{D B}\)(3)

Xét tam giác \(A E B\) có

\(A B / / B K \Rightarrow \frac{A E}{A G} = \frac{B E}{B D}\) (4)

Từ (3) và (4) ta được:

\(\frac{A E}{A K} + \frac{A E}{A G} = \frac{D E}{B D} + \frac{B E}{B D} = \frac{B D}{B D} = 1\)

Ta có: \(\frac{A E}{A K} + \frac{A E}{A G} = 1 \Rightarrow \frac{1}{A E} = \frac{1}{A K} + \frac{1}{A G}\) (chia cả hai vế cho \(A E\)) (điều phải chứng minh).

Xét tam giác \(A A^{'} C\)có \(M , B , B^{'}\)lần lượt nằm trên các cạnh \(A A^{'} , A^{'} C , C A\)và \(M , B , B^{'}\)thẳng hàng, do đó theo định lí Menelaus ta có: 

\(\frac{M A}{M A^{'}} . \frac{B A^{'}}{B C} . \frac{B^{'} C}{B^{'} A} = 1 \Leftrightarrow \frac{M A}{M A^{'}} . \frac{B A^{'}}{B C} = \frac{B^{'} A}{B^{'} C}\)

Tương tự khi xét tam giác \(A A^{'} B\)với các điểm \(M , B , B^{'}\)ta cũng có: 

\(\frac{M A}{M A^{'}} . \frac{C A^{'}}{C B} = \frac{C^{'} A}{C^{'} B}\)

Suy ra \(\frac{B^{'} A}{B^{'} C} + \frac{C^{'} A}{C^{'} B} = \frac{M A}{M A^{'}} \left(\right. \frac{B A^{'}}{B C} + \frac{C A^{'}}{C B} \left.\right) = \frac{M A}{M A^{'}} . \frac{B C}{B C} = \frac{M A}{M A^{'}}\).

Ta có đpcm.