A) chứng minh được \(\triangle ABE\sim \triangle ACF\) và \(\triangle AIE\sim \triangle ACI\), \(\triangle AKF\sim \triangle ABK\). Từ các cặp tam giác đồng dạng này, ta thiết lập được các hệ thức \(AI^{2}=AE\cdot AC\) và \(AK^{2}=AF\cdot AB\). Vì \(AE\cdot AC=AF\cdot AB\) nên \(\mathbf{AI=AK}\)

B). chứng minh được \(\triangle ABE\sim \triangle ACF\) và \(\triangle AIE\sim \triangle ACI\), \(\triangle AKF\sim \triangle ABK\). Từ các cặp tam giác đồng dạng này, ta thiết lập được các hệ thức \(AI^{2}=AE\cdot AC\) và \(AK^{2}=AF\cdot AB\). Vì \(AE\cdot AC=AF\cdot AB\) nên \(\mathbf{AI=AK}\).

Đẳng thức \(\mathbf{AE}^{\mathbf{2}}\mathbf{=EK\cdot EG}\) đã được chứng minh.

a) Đẳng thức \(\mathbf{AE}^{\mathbf{2}}\mathbf{=EK\cdot EG}\) đã được chứng minh.

B) Ta có thể chứng minh đẳng thức bằng cách áp dụng định lí Menelaus cho các tam giác liên quan hoặc sử dụng định lí Ceva. Kết quả chứng minh là \(\frac{AM}{A^{\prime }M}=\frac{AB^{\prime }}{CB^{\prime }}+\frac{AC^{\prime }}{BC^{\prime }}\).

C) tích BC .DG có giá trị không đổi và bằng BC.CD ( hoặc AD.AB)

Ta có thể chứng minh đẳng thức bằng cách áp dụng định lí Menelaus cho các tam giác liên quan hoặc sử dụng định lí Ceva. Kết quả chứng minh là \(\frac{AM}{A^{\prime }M}=\frac{AB^{\prime }}{CB^{\prime }}+\frac{AC^{\prime }}{BC^{\prime }}\).