Ta có: OB⊥AB⇒∠ABO=90 ∘ OC⊥AC⇒∠ACO=90 ∘ ⇒ ∠ABO+∠ACO=180 ∘ ⇒ ABOC là tứ giác nội tiếp Xác định tâm: Hai góc vuông tại B,C ⇒ đường tròn ngoại tiếp có đường kính AO ⇒ Tâm I là trung điểm của AO

b

Ta có: M là trung điểm AB ⇒ AM= 2 AB I là trung điểm AO ⇒ AI= 2 AO ⇒ AM⋅AO= 2 AB ⋅AO=AB⋅ 2 AO =AB⋅AI ⇒ ĐPCM

c

Trong tam giác ACM: G là trọng tâm ⇒ G chia trung tuyến theo tỉ lệ 2:1 Mặt khác: AB=AC (hai tiếp tuyến từ A) ⇒ tam giác ABC cân tại A ⇒ M là trung điểm AB, đường trung bình trong cấu hình này ⇒ MG∥BC

d

Ta có: I là trung điểm AO G là trọng tâm tam giác ACM Xét quan hệ vectơ (hoặc trung tuyến): IG là đường nối trung điểm và trọng tâm ⇒ song song trung tuyến còn lại Mặt khác: Trong tam giác cân và cấu hình đối xứng ⇒ trung tuyến từ C vuông góc đáy ⇒ IG⊥CM

Mình giải chi tiết Bài 1 cho bạn nhé:

Giả thiết:

Tam giác \(A B C\) nhọn
\(B D \bot A C\), \(C E \bot A B\)
\(H = B D \cap C E\)

a) Chứng minh \(B C D E\) là tứ giác nội tiếp

Ta có:

• \(B D \bot A C \Rightarrow \angle B D C = 90^{\circ}\)
• \(C E \bot A B \Rightarrow \angle B E C = 90^{\circ}\)

Xét tứ giác \(B C D E\):

⇒ Hai góc đối bù nhau ⇒ \(B C D E\) là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh \(A D H E\) là tứ giác nội tiếp

Ta có:

• \(B D \bot A C \Rightarrow \angle A D H = 90^{\circ}\)
• \(C E \bot A B \Rightarrow \angle A E H = 90^{\circ}\)

Xét tứ giác \(A D H E\):

⇒ Hai góc đối bù nhau ⇒ \(A D H E\) là tứ giác nội tiếp

Kết luận:

• \(B C D E\) nội tiếp
• \(A D H E\) nội tiếp

Nếu bạn muốn mình vẽ hình minh họa hoặc giải theo kiểu trình bày bài thi (viết đẹp, đủ ý hơn) thì nói mình nhé 👍

Mình giải Bài 2 chi tiết, trình bày kiểu dễ ghi điểm nhé:

Giả thiết:

• Tam giác \(A B C\) nhọn, \(A B > A C\)
• Đường tròn \(\left(\right. I \left.\right)\) đường kính \(B C\) cắt \(A B , A C\) lần lượt tại \(F , E\)
  ⇒ \(B F \bot A C\), \(C E \bot A B\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
• \(B E \cap C F = H\)
• \(A H \cap B C = D\)

a) Chứng minh \(B F H D\) nội tiếp

Ta có:

• \(F\) thuộc đường tròn đường kính \(B C\) ⇒ \(\angle B F C = 90^{\circ}\) ⇒ \(B F \bot A C\)
• \(E\) tương tự ⇒ \(C E \bot A B\)

⇒ \(H\) là giao của hai đường cao ⇒ \(H\) là trực tâm

Suy ra:

• \(A H \bot B C\) ⇒ \(\angle B D H = 90^{\circ}\)
• \(B F \bot A C\), mà \(H \in C F\) ⇒ \(\angle B F H = 90^{\circ}\)

Xét tứ giác \(B F H D\):

⇒ \(B F H D\) là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh \(A B D E\) nội tiếp

Ta có:

• \(A H \bot B C\) ⇒ \(\angle A D B = 90^{\circ}\)
• \(C E \bot A B\) ⇒ \(\angle A E B = 90^{\circ}\)

Xét tứ giác \(A B D E\):

⇒ \(A B D E\) là tứ giác nội tiếp

Kết luận:

• \(B F H D\) nội tiếp
• \(A B D E\) nội tiếp

Nếu bạn muốn mình vẽ hình + chỉ rõ từng góc trên hình cho dễ hiểu hơn (kiểu học nhanh trước khi kiểm tra) thì nói mình nhé 👍

Mình giải Bài 3 rõ ràng từng ý cho bạn nhé:

Giả thiết:

• \(A B C D\) là tứ giác nội tiếp
• \(A B C\) nhọn
• \(A M \bot B C\), \(C N \bot A B\)
• \(H = A M \cap C N\) (⇒ \(H\) là trực tâm)

a) Chứng minh \(\hat{A B C} = \hat{C H M}\)

Ta có:

• \(H\) là trực tâm ⇒ \(B H \bot A C\), \(C H \bot A B\)
• \(M \in B C\), \(A M \bot B C\)

Xét góc:

• \(C H \bot A B\), \(H M \bot B C\)

⇒ góc giữa \(C H\) và \(H M\) bằng góc giữa \(A B\) và \(B C\)

b) Chứng minh \(\hat{A D C} = \hat{A H C}\)

Do \(A B C D\) nội tiếp:

Từ câu a:

⇒

c) Chứng minh \(\hat{M A C} = \hat{M N C}\)

Ta có:

• \(A M \bot B C\) ⇒ \(\angle M A C = 90^{\circ} - \angle A C B\)
• \(C N \bot A B\) ⇒ \(\angle M N C = 90^{\circ} - \angle A B C\)

Mà trong tam giác:

Suy ra:

d) Chứng minh \(\hat{M A C} + 90^{\circ} = \hat{A N M}\)

Ta có:

• \(\angle A N M = 90^{\circ} - \angle A C B\) (do \(C N \bot A B\))
• Mà:

⇒

Kết luận:

a) \(\hat{A B C} = \hat{C H M}\)
b) \(\hat{A D C} = \hat{A H C}\)
c) \(\hat{M A C} = \hat{M N C}\)
d) \(\hat{M A C} + 90^{\circ} = \hat{A N M}\)

Nếu bạn muốn mình vẽ hình + chỉ mẹo nhận biết nhanh dạng “trực tâm + nội tiếp” để làm trắc nghiệm nhanh thì mình chỉ cho luôn 👍

Mình giải chi tiết, trình bày gọn đẹp như bài thi nhé:

Giả thiết:

• Nửa đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) đường kính \(A B\)
• \(C\) thuộc nửa đường tròn ⇒ \(\angle A C B = 90^{\circ}\)
• \(D\) là trung điểm \(O A\)
• Qua \(D\) kẻ đường thẳng ⟂ \(A B\), cắt \(A C\) tại \(E\)

a) Chứng minh tứ giác \(B C E D\) nội tiếp

Ta có:

• \(C\) thuộc nửa đường tròn đường kính \(A B\) ⇒

⇒ \(B C \bot C E\) ⇒ \(\angle B C E = 90^{\circ}\)

• \(D E \bot A B\), mà \(B , D\) cùng nằm trên \(A B\) ⇒

⇒ \(\angle B D E = 90^{\circ}\)

Xét tứ giác \(B C E D\):

⇒ \(B C E D\) là tứ giác nội tiếp

b

Mình giải chi tiết Bài 1 cho bạn nhé:

Giả thiết:

Tam giác \(A B C\) nhọn
\(B D \bot A C\), \(C E \bot A B\)
\(H = B D \cap C E\)

a) Chứng minh \(B C D E\) là tứ giác nội tiếp

Ta có:

• \(B D \bot A C \Rightarrow \angle B D C = 90^{\circ}\)
• \(C E \bot A B \Rightarrow \angle B E C = 90^{\circ}\)

Xét tứ giác \(B C D E\):

⇒ Hai góc đối bù nhau ⇒ \(B C D E\) là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh \(A D H E\) là tứ giác nội tiếp

Ta có:

• \(B D \bot A C \Rightarrow \angle A D H = 90^{\circ}\)
• \(C E \bot A B \Rightarrow \angle A E H = 90^{\circ}\)

Xét tứ giác \(A D H E\):

⇒ Hai góc đối bù nhau ⇒ \(A D H E\) là tứ giác nội tiếp

Kết luận:

• \(B C D E\) nội tiếp
• \(A D H E\) nội tiếp

Nếu bạn muốn mình vẽ hình minh họa hoặc giải theo kiểu trình bày bài thi (viết đẹp, đủ ý hơn) thì nói mình nhé 👍

Mình giải Bài 2 chi tiết, trình bày kiểu dễ ghi điểm nhé:

Giả thiết:

• Tam giác \(A B C\) nhọn, \(A B > A C\)
• Đường tròn \(\left(\right. I \left.\right)\) đường kính \(B C\) cắt \(A B , A C\) lần lượt tại \(F , E\)
  ⇒ \(B F \bot A C\), \(C E \bot A B\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
• \(B E \cap C F = H\)
• \(A H \cap B C = D\)

a) Chứng minh \(B F H D\) nội tiếp

Ta có:

• \(F\) thuộc đường tròn đường kính \(B C\) ⇒ \(\angle B F C = 90^{\circ}\) ⇒ \(B F \bot A C\)
• \(E\) tương tự ⇒ \(C E \bot A B\)

⇒ \(H\) là giao của hai đường cao ⇒ \(H\) là trực tâm

Suy ra:

• \(A H \bot B C\) ⇒ \(\angle B D H = 90^{\circ}\)
• \(B F \bot A C\), mà \(H \in C F\) ⇒ \(\angle B F H = 90^{\circ}\)

Xét tứ giác \(B F H D\):

⇒ \(B F H D\) là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh \(A B D E\) nội tiếp

Ta có:

• \(A H \bot B C\) ⇒ \(\angle A D B = 90^{\circ}\)
• \(C E \bot A B\) ⇒ \(\angle A E B = 90^{\circ}\)

Xét tứ giác \(A B D E\):

⇒ \(A B D E\) là tứ giác nội tiếp

Kết luận:

• \(B F H D\) nội tiếp
• \(A B D E\) nội tiếp

Nếu bạn muốn mình vẽ hình + chỉ rõ từng góc trên hình cho dễ hiểu hơn (kiểu học nhanh trước khi kiểm tra) thì nói mình nhé 👍

Mình giải Bài 3 rõ ràng từng ý cho bạn nhé:

Giả thiết:

• \(A B C D\) là tứ giác nội tiếp
• \(A B C\) nhọn
• \(A M \bot B C\), \(C N \bot A B\)
• \(H = A M \cap C N\) (⇒ \(H\) là trực tâm)

a) Chứng minh \(\hat{A B C} = \hat{C H M}\)

Ta có:

• \(H\) là trực tâm ⇒ \(B H \bot A C\), \(C H \bot A B\)
• \(M \in B C\), \(A M \bot B C\)

Xét góc:

• \(C H \bot A B\), \(H M \bot B C\)

⇒ góc giữa \(C H\) và \(H M\) bằng góc giữa \(A B\) và \(B C\)

b) Chứng minh \(\hat{A D C} = \hat{A H C}\)

Do \(A B C D\) nội tiếp:

Từ câu a:

⇒

c) Chứng minh \(\hat{M A C} = \hat{M N C}\)

Ta có:

• \(A M \bot B C\) ⇒ \(\angle M A C = 90^{\circ} - \angle A C B\)
• \(C N \bot A B\) ⇒ \(\angle M N C = 90^{\circ} - \angle A B C\)

Mà trong tam giác:

Suy ra:

d) Chứng minh \(\hat{M A C} + 90^{\circ} = \hat{A N M}\)

Ta có:

• \(\angle A N M = 90^{\circ} - \angle A C B\) (do \(C N \bot A B\))
• Mà:

⇒

Kết luận:

a) \(\hat{A B C} = \hat{C H M}\)
b) \(\hat{A D C} = \hat{A H C}\)
c) \(\hat{M A C} = \hat{M N C}\)
d) \(\hat{M A C} + 90^{\circ} = \hat{A N M}\)

Nếu bạn muốn mình vẽ hình + chỉ mẹo nhận biết nhanh dạng “trực tâm + nội tiếp” để làm trắc nghiệm nhanh thì mình chỉ cho luôn 👍

Mình giải chi tiết, trình bày gọn đẹp như bài thi nhé:

Giả thiết:

• Nửa đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) đường kính \(A B\)
• \(C\) thuộc nửa đường tròn ⇒ \(\angle A C B = 90^{\circ}\)
• \(D\) là trung điểm \(O A\)
• Qua \(D\) kẻ đường thẳng ⟂ \(A B\), cắt \(A C\) tại \(E\)

a) Chứng minh tứ giác \(B C E D\) nội tiếp

Ta có:

• \(C\) thuộc nửa đường tròn đường kính \(A B\) ⇒

⇒ \(B C \bot C E\) ⇒ \(\angle B C E = 90^{\circ}\)

• \(D E \bot A B\), mà \(B , D\) cùng nằm trên \(A B\) ⇒

⇒ \(\angle B D E = 90^{\circ}\)

Xét tứ giác \(B C E D\):

⇒ \(B C E D\) là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh \(A C \cdot A E = \frac{A B^{2}}{4}\)

Từ câu a ⇒ \(B C E D\) nội tiếp

Xét điểm \(A\) ngoài đường tròn \(\left(\right. B C E D \left.\right)\), ta có:

(do hệ thức về lực của điểm)

Mà:

• \(D\) là trung điểm \(O A\) ⇒ \(A D = \frac{O A}{2}\)
• \(O A = \frac{A B}{2}\)

⇒

Thay vào:

BCED nội tiếp AC⋅AE= 4 AB

Xét góc:

CHM =(CH,HM)

-> góc giữa CH và HM bằng góc giữa AB và AC

-> CHM=AHC

b

Do ABCD Nội tiếp

ADC = AHC ( cùng chắn cung AC)

Từ câu a

ABC=AHC

ADC=AHC

c

AM⊥BC ⇒ ∠MAC=90°ACB

CN⊥AB ⇒ ∠MNC=90° −∠ABC Mà trong tam giác:

∠ABC+∠ACB=180 ∘ −∠A Suy ra: ∠MAC=∠MNC

d

Ta có: ∠ANM=90° −∠ACB (do CN⊥AB) Mà: ∠MAC=90° −∠ACB ⇒ ∠ANM=∠MAC+90°

Ta có:

F THUỘC ĐƯỜNG TRÒN BÁN KÍNH

BC -> BFC= 90° -> BF AC

H là giao của hai đường cao ->H là trực tâm.

Suy ra

AH + BC-> BDH = 90°

Xét tam giác BFHD:

BFH+BDH = 90°+90°=180°

-> BFHD là tứ giác nội tiếp

b

Xét tứ giác ABDE:

ADB+AEB=90°+90°=180°

ABDE là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BCDE:

BDC+DEC=90° + 90°=180°

BCDE là tứ giác nội tiếp

b

Xét tứ giác ADHE:

ADH + AEH= 90°+90°=180°

ADHE là tứ giác nội tiếp

9x-6x>104-23

3x >81

X>27

b) 4x-11 =3(4x-1)

2. 6

9x-11=2(9x-11)

3. 6

12x +16=18x

-3x-19=-22

18x-22<18x-22

Vậy : 22<-22

Mệnh đều sai