Kích thước phần trong: $17\text{ cm} \times 25\text{ cm}$.

* Độ rộng viền: $x\text{ cm}$ (viền bao quanh cả 4 phía).

* Kích thước cả khung sẽ là: $(17 + 2x)$ và $(25 + 2x)$.

* Diện tích cả khung: $(17 + 2x)(25 + 2x) \le 513$.

Giải bất phương trình:

$$4x^2 + 84x + 425 \le 513$$ $$4x^2 + 84x - 88 \le 0$$ $$x^2 + 21x - 22 \le 0$$ $$(x - 1)(x + 22) \le 0$$

Vì độ rộng $x > 0$, ta có $0 < x \le 1$. Vậy độ rộng tối đa là $1\text{ cm}$.

a)

* $\vec{n} = (3; 4)$, $\vec{n}_1 = (5; -12)$

* $\cos \alpha = \frac{|3 \cdot 5 + 4 \cdot (-12)|}{\sqrt{3^2 + 4^2} \cdot \sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|-33|}{5 \cdot 13} = \mathbf{\frac{33}{65}}$

b)

* $(C): I(3; -2), R = 6$

* $d \perp \Delta \implies d: 4x - 3y + c = 0$

* $d(I, d) = R \iff \frac{|4 \cdot 3 - 3 \cdot (-2) + c|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = 6 \iff \frac{|18 + c|}{5} = 6 \iff |18 + c| = 30$

* $c = 12$ hoặc $c = -48$

* Kết quả: $4x - 3y + 12 = 0$ và $4x - 3y - 48 = 0$

a) $f(x) = x^2 + (m - 1)x + m + 5 > 0, \forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 > 0 \\ \Delta = (m - 1)^2 - 4(m + 5) < 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow m^2 - 6m - 19 < 0$

$\Leftrightarrow 3 - 2\sqrt{7} < m < 3 + 2\sqrt{7}$

b)

$\sqrt{2x^2 - 8x + 4} = x - 2$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 2x^2 - 8x + 4 = (x - 2)^2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 2 \\ 2x^2 - 8x + 4 = x^2 - 4x + 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 2 \\ x^2 - 4x = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 2 \\ \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = 4 \end{array} \right. \end{cases}$

$\Rightarrow x = 4$