Ta có : a​IA+ bIB​=0

aIA+ b(IA+AB)=0

(a+b)IA+bAB=0

AI=b/a+b.AB(1)

Vì A và B có định lên (1) không đổi.Do đó tồn tại duy nhất 1 điểm I ​ thỏa mãn điều kiệm.Từ đó suy ra:

aMA+bMB= a(MI+IA)+b(MI+IB)

=(a+b)MI+(aIA + bIB)=(a+b)MI (đpcm)

a)Ta có :2MA+ MB+MC= 0

=>2MA+MA+AB+MA+AC=0

=>4MA=BA+CA

Gọi I là trung điểm BC

=>BA+CA=2AI

=>4AM=2AI

=>AM=1/2AI

Vậy M là trung điểm AI với I là trung điểm BC

b)NA+NB+NC+ND=0

=>NG+GA+NG+GB+NG+GC+NG+GD=0

=>4NG=0

=>NG=0

Vậy N trùng G và là trọng tâm của tứ giác ABCD

c)3PA+PB+PC+PD=0

Ta có : 2MA - 3MB=0

2MA - 3MA - 3AB=0

MA=3BA

=> M nằm trên đường thẳng đi qua điểm A và B sao cho MA = 3BA

a) ta có : AD= AO + OD

= AF + AB + OE + OC

= 2AF + 2AB

b)ta có : 1/2AB + 1/2BC=1/2AC

AD định lý cosin cho ∆ ABC ta đc:

AC^2=​AB^2+BC^2+2.AB.BC.cosABC

=a^2+a^2+2.a.a.cos120°

=>AC=a√3

=>1/2 AC = √3/2.a

a)Gọi M là trong điểm BC

Nên AG= 2/3 AM

=2/3.1/2.(AB + AC) ( theo quy tắc hbh)

=1/3.(AB+AC)

b)Ta có : EA = 2( EA + AB)

=>EA= 2EA+2AB

=>EA= - 2AB

=>AE= 2AB

Ta có: 3FA+2FC=0

=> 3FA+ 2( FA+AC)=0

=>5FA+ 2AC=0

=>AF=2/5.AC

Ta có: EF=AF - AE=2/5.AC - 2AB

+) Ta có: EF// BC ( đường trung bình)

=>∆AFI≈∆ABD

=>AI/AD=AF/AB

=> AI=1/2AD

=1/2.(AB+AC)

= 1/2.1./2.(AF+AE)

=1/4.(v+u)

+)Ta có : G lag trọng tâm ∆ABC

=>AG=2/3 AD

=2/3.1/2.(v+u)

=1/3.(v+u)

+)Ta có: DE=AE - AD=u - 1/2.(u + v)

=u - 1/2.u - 1/2.v=1/2.u - 1/2.v

+) Ta có: DC = AC - AD

= 2AE - 1/2(v+u)

=2u - 1/2v - 1/2u= 3/2u - 1/2v

AK = AM - MK

=AM +1/2.MN

=AM+ 1/2.(MA+AN)

=1/2.AM+1/2AN

=1/2.1/2.AB+1/2.1/3.AC

= 1/4.AB+ 1/6.AC

AK = AM - MK

=AM +1/2.MN

=AM+ 1/2.(MA+AN)

=1/2.AM+1/2AN

=1/2.1/2.AB+1/2.1/3.AC

= 1/4.AB+ 1/6.AC

Ta có : AM= OM - OA= k.(OB - OM)=MB

=> OM - OA= k.OB - k.OM

=> k.OM - OM= k.OB - OA

=>(k - 1).OM= k.OB - OA

=>OM= k.OB - OA/k - 1

=>OM= OA - k.OB/1 - k (đpcm)

Ta có:

+) AB= GB - GA= b - a

+) G là trọng tâm ∆ABC:

=> GA+GB+GC= 0

=> GC= - GA - GB

Ta có: BC= GC - GB= - GA - GB - GB = - a - 2b

+) Ta có : GC= - GA - GB = - a - b

+) Ta có: CA= GA - GB = a - b