Nghiêm Thị Trâm
Giới thiệu về bản thân
Chào mừng bạn đến với trang cá nhân của Nghiêm Thị Trâm
0
0
0
0
0
0
0
2025-11-05 20:43:29
Gọi
a=z-y\ge0 và b=y-x\ge0. Khi đó
y=x+b,\qquad z=x+b+a.
Thay vào biểu thức
E=x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y)
ta được (mở rộng và đơn giản hoá)
\begin{aligned} E &=x\big(x-(x+b)\big)\big(x-(x+b+a)\big) +(x+b)\big((x+b)-(x+b+a)\big)\big((x+b)-x\big)\\ &\quad+(x+b+a)\big((x+b+a)-x\big)\big((x+b+a)-(x+b)\big)\\ &=a^{3}+2a^{2}b+a^{2}x+abx+b^{2}x. \end{aligned}
Mỗi hạng tử trên đều không âm vì a,b,x\ge0. Vậy E\ge0.
Trường hợp đạt dấu bằng: E=0 khi và chỉ khi a=0 và b=0 hoặc a=0,x=0, tức là khi x=y=z hoặc khi z=y và x=0.
Do đó với z\ge y\ge x\ge0 luôn có
x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y)\ge0.