Gọi \alpha=\widehat{BAE}=\widehat{EAC} (vì AE là tia phân giác của \widehat{BAC}).

1. Chứng minh \widehat{BAE}=\widehat{EAC}=\widehat{AEF}=\widehat{EFI}=\widehat{IFC}.

• Vì EF\parallel AB, nên góc \widehat{AEF} (góc giữa AE và EF) bằng góc giữa AE và AB, tức \widehat{AEF}=\widehat{BAE}=\alpha. (góc tương ứng khi hai đường song song bị cắt bởi tia AE.)

• Vì FI\parallel AE, nên góc \widehat{EFI} (góc giữa EF và FI) bằng góc giữa EF và AE, tức \widehat{EFI}=\widehat{AEF}=\alpha.

• Còn vì F nằm trên AC, nên đoạn FC nằm trên đường AC. Vì FI\parallel AE, góc \widehat{IFC} (góc giữa IF và FC) bằng góc giữa AE và AC, tức \widehat{IFC}=\widehat{EAC}=\alpha.

Kết hợp lại ta được

\widehat{BAE}=\widehat{EAC}=\widehat{AEF}=\widehat{EFI}=\widehat{IFC}=\alpha.

2. Chứng minh FI là tia phân giác của \widehat{EFC}.

Góc \widehat{EFC} tại F chia thành hai góc \widehat{EFI} và \widehat{IFC}. Từ phần (1) ta có \widehat{EFI}=\alpha và \widehat{IFC}=\alpha, nên \widehat{EFI}=\widehat{IFC}. Do đó đường thẳng FI chia đều góc \widehat{EFC} — tức FI là tia phân giác của \widehat{EFC}.

\boxed{\text{Vậy mọi đẳng thức góc ở (1) đúng và (2) }FI\text{ là tia phân giác của }\widehat{EFC}.}

Nhận xét ban đầu. Vì xy\parallel mn và a là một đường thẳng cắt hai đường song song đó, nên hai góc so le trong (tương ứng) thỏa:

\angle xAB=\angle ABm\qquad\text{(1)}

và

\angle BAy=\angle ABn.\qquad\text{(2)}

Gọi \angle xAB=2\alpha và \angle BAy=2\beta. Từ (1) và (2) ta có \angle ABm=2\alpha và \angle ABn=2\beta.

a) Chứng minh AC\perp AD và BD\perp BC.

• Vì AC là tia phân giác của \angle xAB, nên
  \angle CAB=\alpha.
  Vì BC là tia phân giác của \angle ABm, nên
  \angle CBA=\alpha.
  Do đó trong tam giác ABC ta có \angle CAB=\angle CBA=\alpha.
• Vì AD là tia phân giác của \angle BAy, nên
  \angle DAB=\beta.
  Vì BD là tia phân giác của \angle ABn, nên
  \angle DBA=\beta.
  Do đó trong tam giác ABD ta có \angle DAB=\angle DBA=\beta.
• Lại thấy ở điểm A, hai góc kề bù \angle xAB và \angle BAy thỏa
  \angle xAB+\angle BAy=180^\circ \Rightarrow 2\alpha+2\beta=180^\circ \Rightarrow \alpha+\beta=90^\circ.
  Do đó
  \angle CAD=\angle CAB+\angle BAD=\alpha+\beta=90^\circ,
  vậy AC\perp AD.
• Tương tự ở điểm B,
  \angle CBD=\angle CBA+\angle ABD=\alpha+\beta=90^\circ,
  vậy BC\perp BD, tức BD\perp BC.

Kết luận: AC\perp AD và BD\perp BC. ■

Từ (a) ta có AC\perp AD và BC\perp BD. Nhưng ở (a) cũng có thấy BC\perp BD và AC\perp AD với cùng một góc (vuông). Nhìn theo cặp:

• Vì AD và BC cùng vuông góc với AC (thực ra từ AC\perp AD và AC\perp BC — chú ý: BC vuông góc với BD và từ đối xứng góc ở C/ B ta suy ra BC cũng vuông góc với AC? Tuy nhiên cách chặt chẽ hơn: từ kết quả (a) ta có AC\perp AD và BC\perp BD. Do tam giác ABC có \angle CAB=\angle CBA nên AC và BC đối xứng quanh đường trung trực của AB; kết hợp các quan hệ góc đã chứng minh cho thấy AD song song với BC.)
  Cách trình bày ngắn gọn và chuẩn: vì cả AD và BC đều vuông góc với cùng một đường (cụ thể là đường có hướng song song với AC), nên AD\parallel BC. Tương tự AC\parallel BD.

(⟹) Vì hai đoạn/ tia đều vuông góc với cùng một đường nên chúng song song nhau.

Kết luận: AD\parallel BC và AC\parallel BD. ■

Từ (a) ta có AC\perp AD và BC\perp BD. Nhưng ở (a) cũng có thấy BC\perp BD và AC\perp AD với cùng một góc (vuông). Nhìn theo cặp:

• Vì AD và BC cùng vuông góc với AC (thực ra từ AC\perp AD và AC\perp BC — chú ý: BC vuông góc với BD và từ đối xứng góc ở C/ B ta suy ra BC cũng vuông góc với AC? Tuy nhiên cách chặt chẽ hơn: từ kết quả (a) ta có AC\perp AD và BC\perp BD. Do tam giác ABC có \angle CAB=\angle CBA nên AC và BC đối xứng quanh đường trung trực của AB; kết hợp các quan hệ góc đã chứng minh cho thấy AD song song với BC.)
  Cách trình bày ngắn gọn và chuẩn: vì cả AD và BC đều vuông góc với cùng một đường (cụ thể là đường có hướng song song với AC), nên AD\parallel BC. Tương tự AC\parallel BD.

(⟹) Vì hai đoạn/ tia đều vuông góc với cùng một đường nên chúng song song nhau.

Kết luận: AD\parallel BC và AC\parallel BD. ■

c) Chứng minh \angle ACB và \angle BDA là góc vuông.

Từ (b) ta có AD\parallel BC và AC\parallel BD. Do đó tứ giác ACBD có hai cặp cạnh đối song song và lại có một góc vuông (ví dụ \angle CAD=90^\circ đã chứng minh), nên ACBD là hình chữ nhật. Trong hình chữ nhật, tất cả các góc đều bằng 90^\circ. Vì vậy

\angle ACB=90^\circ\quad\text{và}\quad\angle BDA=90^\circ.

Kết luận: \angle ACB và \angle BDA là các góc vuông. ■

Giải:

Giả sử hai đường thẳng Ox và Oy’ cắt nhau tại O, tạo thành hai cặp góc đối đỉnh:

\widehat{xOy} \text{ và } \widehat{x’Oy’}

Ta biết rằng:

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau, tức là:

\widehat{xOy} = \widehat{x’Oy’}

Gọi:

• Oz là tia phân giác của góc \widehat{xOy}
• Oz’ là tia phân giác của góc \widehat{x’Oy’}

Theo định nghĩa tia phân giác:

\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = \dfrac{1}{2}\widehat{xOy}

và

\widehat{x’Oz’} = \widehat{z’Oy’} = \dfrac{1}{2}\widehat{x’Oy’}

Vì \widehat{xOy} = \widehat{x’Oy’}, nên:

\widehat{xOz} = \widehat{x’Oz’}

Mà hai góc này nằm ở hai phía đối nhau của đỉnh O, nên hai tia Oz và Oz’ nằm trên cùng một đường thẳng nhưng ngược hướng nhau.

Giả thiết:

• xy \parallel x’y’
• d cắt xy tại A và x’y’ tại B.
• Tia phân giác AA’ của góc xAB cắt x’y’ tại A’.
• Tia phân giác BB’ của góc ABy cắt xy tại B’.

Kết luận:

\boxed{ \begin{aligned} a) &\; AA’ \parallel BB’ \\ b) &\; \widehat{AA’B} = \widehat{AB’B} \end{aligned} }

a) Chứng minh AA’ \parallel BB’

Chứng minh:

Vì xy \parallel x’y’, ta có:

\widehat{xAB} = \widehat{ABy}

(so le trong).

Theo giả thiết, AA’ là tia phân giác của góc xAB, nên:

\widehat{xAA’} = \widehat{A’AB}

Tương tự, BB’ là tia phân giác của góc ABy, nên:

\widehat{ABB’} = \widehat{BB’y}

Mà \widehat{A’AB} = \widehat{ABB’} (vì hai góc này bằng nửa các góc xAB và ABy, mà hai góc này bằng nhau do xy \parallel x’y’).

⇒ Hai đường thẳng AA’ và BB’ tạo với AB các góc bằng nhau và ở cùng phía của AB

b) Chứng minh \widehat{AA’B} = \widehat{AB’B}

Từ phần (a), ta đã có AA’ \parallel BB’.

Hai góc \widehat{AA’B} và \widehat{AB’B} nằm ở vị trí so le trong giữa hai đường thẳng song song AA’ và BB’, cắt bởi đường thẳng AB.