a) Vì AH, CK vuông góc với BD(gt)

Suy ra AH// CK

Vì ABCDlà hình bình hành (gt)

Suy ra AD=BC; AD // BC

Xét ΔADH và ΔCBK ta có:

ˆAHD=ˆCKB=90∘(gt)

AD=BC(cmt)

ˆADH=ˆCBK (do AD // BC)

Suy ra ΔADH=ΔCBK (ch-gn)

Suy ra AH=CK(hai cạnh tương ứng)

Mà AH// CK(cmt)

Suy ra AHCK là hình bình hành

b) Vì AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo HK và AC cắt nhau tại trung điểm.

Mà I là trung điểm của HK

Suy ra I là trung điểm của AC

Ta lại có ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm.

Suy ra I là trung điểm của BD hay IB=ID

a) Vì ABCDlà hình bình hành (gt)

Suy ra AD=BC

AD // BC

Mà E, F là trung điểm của AD, BC (gt)

Suy ra AE=ED=BF=FC

Xét tứ giác EBFD ta có:

ED=FB (cmt)

ED// BF (do AD // BC)

Suy ra EDFB là hình bình hành

b) Vì ABCD là hình bình hành (gt)

Suy ra O là trung điểm của AC và BD

Mà DEBF là hình bình hành (gt)

Suy ra O cũng là trung điểm của EF

Suy ra E, O, F thẳng hàng

Xét tứ giác ABG có

NA=NC

PB=PG

=> PN là đường trung bình của tứ giác ABG

\(\Rightarrow P N = \frac{1}{2} A G\) (1)

=> PN//AG (2)

Xét tứ giác ACG có

MA=MC

QC=QG

=> QN là đường trung bình của tứ giác ACG

\(\Rightarrow Q M = \frac{1}{2} A G\) (3)

=> QM//AG (4)

Từ (2) và (4) => PN//QM

Từ (1) và (3) \(\Rightarrow P N = Q M = \frac{1}{2} A G\)

=> PQMN là hình bình hành (dhnb)

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.

⇒ AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra ˆOAM=ˆOCN (hai góc so le trong).

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

ˆOAM=ˆOCN (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

ˆAOM=ˆCON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (cmt); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (cmt)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành

a) vì ABCD là hình bình hành

nên AB//CD, AB=CD

Vì E,F là trung điểm của AB, CD

nên AE=EB=CF=FD

AE//FD và AE=FD, suy ra AEFD là hình bình hành(dhnb)

Vì AE//CF, AE=CF, suy ra AECF là hình bình hành

VÌ AEFD là hình bình hành(cmt), nên EF//AD, EF=AD

vÌ AECF là hình bình hành(cmt), nên AF//EC, AF=EC