Gọi giao điểm của MN với OA là H

Vì MN\(\bot\)OA tại trung điểm của OA

nên MN\(\bot\)OA tại H và H là trung điểm của OA

Xét ΔOMA có 

MH là đường cao

MH là đường trung tuyến

Do đó: ΔOMA cân tại M

=>MO=MA

mà OM=OA

nên OM=MA=OA

=>ΔOMA đều

=>\(\hat{M O A} = 6 0^{0}\)

Xét ΔMHO vuông tại H có \(s i n M O H = \frac{M H}{M O}\)

=>\(\frac{M H}{10} = s i n 60 = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(M H = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \left(\right. c m \left.\right)\)

ΔOMN cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của MN

=>\(M N = 2 \cdot M H = 2 \cdot 5 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3} \left(\right. c m \left.\right)\)