Ta có AD cắt BC tại E

Ta có góc C + góc D = 90°

→ 180 ° - ( góc C + góc D )

Ta có : MN // AD // PQ

MQ //BC // PN

Do đó , dựa trên tính chất của góc có cạnh tương ứng song song ta được. Góc MNQ = góc NPQ = góc E=90°

Vậy bốn điểm M , N , P , Q cùng nằm trên đường tròn đường kính NQ

Gọi O là trung điểm của BC

Vì BD là đường cao

Nên BD vuông góc với AC

→tam giác BDC vuông tại D

Xét tam giác BDC vuông tại D có

DO là đường trung tuyến

→OD =OB= OC = 1/2 NC (1)

xét tam giác BEC vuông tại E có

EO là đường trung tuyến

→ OD = OB = OC = 1/2 BC (2)

Xét tam giác CFB vuông tại F có

OF là đường trung tuyến

→ OF = OB =OC = 1/2 BC. (3)

Từ (1) , (2) và (3) ta có

→ OB = OC =OD = OE = OF

Hay 5 điểm B , C , D , E , F cùng thuộc một đường tròn

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có :

OA = OB = OC = OD = 1 /2 BD

Do đó 4 điểm A , B , C , D cùng thuộc đường tròn ( O ; OA )

Gọi M , N, P , Q lần lượt là TĐ của 4 cạnh AB , BC , CD , và DA của hình thoi ABCD

+) gọi O là giao điểm của AC và BD .

Ta có AC vuông góc với BD

Theo t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông , ta đc

OM =1/2 AB

ON =1/2 BC

OP = 1/2 CD

OQ = 1/2 AD

Hoặc AB = BC = CD = DA

=》 OM = ON = OP = OQ

Do đó bốn điểm M , N , P , Q cung nằm trên một đường tròn

Vì O là trung điểm của BC

=》 OB=OC=1/2 BC (1)

Xét tam giác BB'C vuông tại B' , ta có :

B'O là đường trung tuyến

=》 B'O =1/2 BC ( t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông) (2) Xét tam giác CC'B vuông tại C' , ta có :

C'O là đường trung tuyến

=》 C'O =1/2 BC ( t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông ) (3)

Từ (1),(2) và (3) , ta có :

OB = OB' = OC = OC' (=1/2 BC )

=》T/g BC'B'C cùng huộc một đường tròn ( bán kính OB' )

=》Đường tròn tâm O bán kính OB' đi qua B, C, C'

Gọi O là TĐ của AC

=》AO =OC =1/2 AC (1)

Xét tam giác ABC vuông tại B , ta có :

OB là đường trung tuyến

=》 OB = 1/2 AC (t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông) (2)

Xét tam giác ADC vuông tại D ta có :

OD là đường trung tuyến

=》 OD =1/2 AC ( t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông) (3)

Từ (1),(2) và (3) , ta có :

=》 OA = OB = OC = OD ( =1/2 AC )

=》 A ,B ,C , D cùng thuộc một đường tròn đường kính AC