Gọi x là số đo cung nhỏ AB (x > 0)

Số đo cung lớn AB là 2x

Ta có:

x + 2x = 360⁰

3x = 360⁰

x = 360⁰ : 3

x = 120⁰

⇒ ∠AOB = 120⁰

∆AOB có:

OA = OB = R

⇒ ∆AOB cân tại O

⇒ ∠OAB = ∠OBA = (180⁰ - ∠AOB) : 2

= (180⁰ - 120⁰) : 2

= 30⁰
Vẽ đường cao OH của ∆OAB

⇒ ∆OAH vuông tại H

⇒ cosOAH = AH : OA

⇒ AH = OA.cosOAH

= R.cos30⁰

=R.căn 3/2

Do OH ⊥ AB

⇒ H là trung điểm của AB

⇒ AB = 2AH

=2.R căn 3/2 = R căn 3

a) Gọi ⌢AnB là cung nhỏ và ⌢AmB là cung lớn có sđ⌢AmB = 3sđ⌢AnB (gt)

Mà sđ⌢AmB + sđ⌢AnB = 360^o

Do đó 4sđ⌢AnB = 360^o

sđ⌢AnB = 360^o: 4 = 90^o

Vậy sđ⌢AmB = 3sđ⌢AnB = 3. 90^o = 270^o .

b) Ta có ˆAOB= sđ⌢AnB (góc ở tâm chắn cung AB)

suy ra ˆAOB= 90^o suy ra tam giác AOB vuông tại O.

Mà AO = OB = R nên tam giác AOB vuông cân tại O.

Khi đó OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến.

Tam giác AOB vuông tại O có OH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OH = AB2.

Gọi H là trung điểm của AB.

Theo giả thiết, góc ở tâm chắn cung AB là ˆAOB=100°.

Xét ∆OAH và ∆OBH có:

OA = OB = R

Cạnh OH chung

HA = HB (do H là trung điểm của AB)

Do đó ∆OAH = ∆OBH (c.c.c).

Suy ra ˆHOA=ˆHOB (hai góc tương ứng).

Lại có: ˆHOA+ˆHOB=ˆAOB nên 2ˆHOA=ˆAOB=100° hay ˆHOA=50°.

Xét tam giác OAH vuông tại H có: cosˆHOA=OHOA

Suy ra OA=OHcosˆHOA=3cos50°≈4,7(cm).

Vậy bán kính của đường tròn (O) khoảng 4,7 cm.

Gọi M là trung điểm của AC

Tam giác ABC vuông tại B có BM là đường trung tuyến nên:

 \(B M = \left(\right. \frac{1}{2} \left.\right) . A C\)(tính chất tam giác vuông)

Tam giác ACD vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:

\(D M = \left(\right. \frac{1}{2} \left.\right) . A C\) (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: MA = MB = MC = MD

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn tâm M bán kính bằng \(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right) . A C\)

Trong đường tròn tâm M ta có BD là dây cung không đi qua tâm, AC là đường kính nên: BD < AC

Xét ∆BCB’ vuông tại B’ có đường trung tuyến B’O ứng với cạnh huyền BC, do đó B′O=12BC.

Mà O là trung điểm của BC nên OB=OC=12BC.

Do đó B′O=OB=OC=12BC.

Chứng minh tương tự đối với ∆BCC’ vuông tại C’, ta cũng có C′O=OB=OC=12BC.

Suy ra B′O=C′O=OB=OC=12BC.

Vậy đường tròn tâm O bán kính OB’ đi qua B, C, C’.
Xét đường tròn tâm O bán kính OB’, dây BC là đường kính đi qua tâm O, dây B’C’ là dây cung không đi qua tâm O.
Do đó BC > B’C’.

Gọi OK là khoảng cách từ O đến dây MN

Suy ra: K là trung điểm của MN

Xét ΔOMN có OM=ON=MN

nên ΔOMN đều

Xét ΔOKN vuông tại K có 

\(O N^{2} = O K^{2} + K N^{2}\)

hay \(O K = \frac{R \sqrt{3}}{2}\)

a: Gọi I là trung điểm của OA

Vì MN vuông góc với OA tại trung điểm của OA

nên MN\(\bot\)OA tại I

ΔOMN cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của MN

Xét tứ giác OMAN có

I là trung điểm chung của OA và MN

=>OMAN là hình bình hành

Hình bình hành OMAN có OM=ON

nên OMAN là hình thoi

b: OMAN là hình thoi

=>OM=MA

=>OM=MA=OA

=>ΔOMA đều

Xét ΔOMA đều có MI là đường cao

nên \(M I = O A \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10 \sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \left(\right. c m \left.\right)\)

I là trung điểm của MN

=>\(M N = 2 \cdot M I = 2 \cdot 5 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3} \left(\right. c m \left.\right)\)