a) Do ABCD là hình bình hành nên:

AD // BC và AD = BC.

Do AD // BC nên:

∠ADB = ∠CBD (hai góc so le trong).

Xét hai tam giác tam giác ADH và tam giác CBK, ta có:

• ∠AHD = ∠CKB = 90° (gt);
• AD = BC (cmt);
• ∠ADH = ∠CBK (vì ∠ADB = ∠CBD).

Suy ra ΔADH = ΔCBK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra: AH = CK (2 cạnh tương ứng).

Ta có:

• AH ⊥ DB và CK ⊥ DB nên AH // CK.

Tứ giác AHCK có:

• AH // CK và AH = CK nên AHCK là hình bình hành (dhnb).

b) Do AHCK là hình bình hành, nên hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của HK  nên I là trung điểm của AC.

Do ABCD là hình bình hành, nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vì I là trung điểm của AC nên I cũng là trung điểm của BD nên IB = ID.

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra GM = GB/2 ; GN = GC/2(tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà P là trung điểm của GB (giả thiết) nên GP = PB =GB/2 (2)

Q là trung điểm của GC (giả thiết) nên GQ = QC = GC/2 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra GM = GP và GN = GQ

Xét tứ giác PMQN có: GM = GP và GN = GQ (chứng minh trên)

Do đó tứ giác MNPG có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

• B là trung điểm của đoạn AE nên AB = BE (1)
• ABCD là hình bình hành nên AB // DC và AB = DC (tính chất hình bình hành).
  nên DC = AB (2)
• Có C là trung điểm của đoạn DF nên DC = CF (3)

Từ (1), (2), (3): AB = BE = DC = CF

Mà các đoạn thẳng nối tiếp nhau trên tứ giác AEFD nên
AB = DC và AB // DC
BE = CF và BE // CF

suy ra Tứ giác AEFD có các cạnh đối song song và bằng nhau
suy ra AEFD là hình bình hành (dhnb)

• Tứ giác ABFC có:
• • AB // FC ( AB // DC và DC // FC)
  • AB = FC (AB = DC = CF)

suy ra Tứ giác ABFC có hai cạnh đối song song và bằng nhau
suy ra ABFC là hình bình hành.

a) xét ΔOAM và ΔOCN có

OA=OC(AC cắt BD tại giao điểm O của hbh)

góc AOM=góc NOC( 2 góc đối đỉnh)

góc OAM= góc OCN (slt)

SUy ra ΔOAM = ΔOCN(g-c-g)

b)có AB//CD nên MB//DN

có AB=CD,AM=CN nên AB-AM=CD-CN

suy ra MB=DN

xét tứ giác MBND có

MB=DN,MB//DN

suy ra MBND là hbh (dhnb)

a) Có hbh ABCD nên AB//CD,AB=CD

có E,F là trung điểm của AB,CD mà AB=CD nên AE=EB=CF=FD

có AB//CD nên AE//DF,AE//CF

xét tứ giác AEFD có. xét tứ giác AEFC có

AE//DF,AE=DF (cmt). AE//CF,AE=CF

SUY ra AEFD là hbh.(dhnb) Suy ra AEFC là hbh(dhnb)

b) Có AEFD là hbh nên EF=AD

có AEFC là hbh nên AF=EC