1) Chứng minh

\(\hat{B A E} = \hat{E A C} = \hat{A E F} = \hat{E F I} = \hat{I F C} .\)

Vì \(A E\) là tia phân giác của \(\hat{B A C}\), nên:

\(\hat{B A E} = \hat{E A C} .\)

(1)

Lại có \(E F / / A B\) (giả thiết), nên hai góc \(\hat{E A C}\) và \(\hat{A E F}\) là hai góc so le trong, do đó:

\(\hat{E A C} = \hat{A E F} .\)

(2)

Từ \(F I / / A E\), ta có \(\hat{A E F}\) và \(\hat{E F I}\) là hai góc so le trong, nên:

\(\hat{A E F} = \hat{E F I} .\)

(3)

Cuối cùng, \(E F / / A B\) và \(F I / / A E\), suy ra hai đường \(E F\) và \(F I\) cũng lần lượt song song với hai cạnh của tam giác \(A B C\), nên các góc \(\hat{E F I}\) và \(\hat{I F C}\) so le trong bằng nhau.
Suy ra:

\(\hat{E F I} = \hat{I F C} .\)

(4)

Từ (1), (2), (3), (4) ta được:

\(\hat{B A E} = \hat{E A C} = \hat{A E F} = \hat{E F I} = \hat{I F C} .\)

2) Chứng minh \(F I\) là tia phân giác của \(\hat{E F C}\)

Từ phần (1), ta có:

\(\hat{E F I} = \hat{I F C} .\)

Theo định nghĩa, nếu một tia nằm trong góc và chia góc đó thành hai góc bằng nhau, thì tia đó là tia phân giác của góc ấy.

Vì \(F I\) nằm trong góc \(\hat{E F C}\) và chia góc đó thành hai góc bằng nhau, nên:

\(F I \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{tia}\&\text{nbsp};\text{ph} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; \hat{E F C} .\)

✅ Kết luận:

1. \(\hat{B A E} = \hat{E A C} = \hat{A E F} = \hat{E F I} = \hat{I F C} .\)
2. \(F I\) là tia phân giác của \(\hat{E F C} .\)

a) Chứng minh \(A C \bot A D ; B D \bot B C\)

Tại đỉnh \(A\): hai tia \(A x\) và \(A y\) cùng nằm trên đường thẳng \(x y\), nên
\(\hat{x A B}\) và \(\hat{B A y}\) là hai góc kề bù.
Do đó:

\(\hat{x A B} + \hat{B A y} = 180^{\circ} .\)

Hai góc kề bù có các tia phân giác vuông góc với nhau, nên

\(A C \bot A D .\)

Tương tự, tại đỉnh \(B\): hai tia \(B m\) và \(B n\) cùng nằm trên đường thẳng \(m n\), nên
\(\hat{A B m}\) và \(\hat{A B n}\) là hai góc kề bù.
Suy ra

\(B D \bot B C .\)

b) Chứng minh \(A D / / B C\) và \(A C / / B D\)

Chứng minh \(A C / / B D\).

• \(A C\) là tia phân giác của \(\hat{x A B}\), nên góc giữa \(A C\) và \(A B\) bằng \(\frac{1}{2} \hat{x A B}\). Ký hiệu:
  \(\hat{\left(\right. A C , A B \left.\right)} = \frac{1}{2} \textrm{ } \hat{x A B} .\)
• \(B D\) là tia phân giác của \(\hat{A B n}\), nên góc giữa \(A B\) và \(B D\) bằng \(\frac{1}{2} \hat{A B n}\). Ký hiệu:
  \(\hat{\left(\right. A B , B D \left.\right)} = \frac{1}{2} \textrm{ } \hat{A B n} .\)
• Vì \(x y / / m n\) nên hai góc tạo bởi \(A B\) với hai đường tương ứng là bằng nhau: \(\hat{x A B} = \hat{A B n}\).
  Do đó
  \(\hat{\left(\right. A C , A B \left.\right)} = \hat{\left(\right. A B , B D \left.\right)} .\)
  Nghĩa là \(A C\) và \(B D\) tạo với \(A B\) những góc bằng nhau ở hai phía, suy ra \(A C / / B D\).

Chứng minh \(A D / / B C\).

• \(A D\) là tia phân giác của \(\hat{B A y}\), nên \(\hat{\left(\right. A D , A B \left.\right)} = \frac{1}{2} \textrm{ } \hat{B A y}\).
• \(B C\) là tia phân giác của \(\hat{A B m}\), nên \(\hat{\left(\right. A B , B C \left.\right)} = \frac{1}{2} \textrm{ } \hat{A B m}\).
• Vì \(x y / / m n\) nên \(\hat{B A y} = \hat{A B m}\). Vì vậy
  \(\hat{\left(\right. A D , A B \left.\right)} = \hat{\left(\right. A B , B C \left.\right)} ,\)
  do đó \(A D / / B C\).

Kết luận (b): \(A D / / B C\) và \(A C / / B D\).

c) Chứng minh \(\hat{A C B}\) và \(\hat{B D A}\) là các góc vuông

Từ phần (a) ta có \(A C \bot A D\).
Từ phần (b) ta có \(A C / / B D\) và \(A D / / B C\).

Vì \(A C / / B D\) nên đường thẳng \(A C\) song song với \(B D\); vì \(A D / / B C\) nên \(A D\) song song với \(B C\). Do đó góc \(\hat{A C B}\) (góc tạo bởi \(A C\) và \(C B\)) cùng bằng góc tạo bởi \(B D\) và \(D A\), tức \(\hat{A C B} = \hat{B D A}\).

Nhưng \(A C \bot A D\) nên góc giữa \(A C\) và \(A D\) bằng \(90^{\circ}\). Vì \(A C / / B D\) và \(A D / / B C\), ta có góc giữa \(B D\) và \(D A\) cũng bằng \(90^{\circ}\). Suy ra

\(\hat{A C B} = \hat{B D A} = 90^{\circ} .\)

Kết luận (c): \(\hat{A C B}\) và \(\hat{B D A}\) đều là các góc vuông.

Giả sử hai đường thẳng \(O x\) và \(O y\) cắt nhau tại điểm \(O\).
Ta được hai cặp góc đối đỉnh:

• \(\hat{x O z}\) và \(\hat{y O t}\) là hai góc đối đỉnh.

Gọi \(O m\) là tia phân giác của \(\hat{x O z}\),
và \(O n\) là tia phân giác của \(\hat{y O t}\).

Chứng minh:

Vì \(\hat{x O z}\) và \(\hat{y O t}\) là hai góc đối đỉnh nên:

\(\hat{x O z} = \hat{y O t} .\)

Tia \(O m\) là tia phân giác của \(\hat{x O z}\) nên:

\(\hat{x O m} = \hat{m O z} = \frac{1}{2} \hat{x O z} .\)

Tia \(O n\) là tia phân giác của \(\hat{y O t}\) nên:

\(\hat{y O n} = \hat{n O t} = \frac{1}{2} \hat{y O t} .\)

Mà \(\hat{x O z} = \hat{y O t}\), nên:

\(\hat{x O m} = \hat{y O n} .\)

Hai tia \(O m\) và \(O n\) lần lượt nằm trong hai góc đối đỉnh và cùng tạo với đỉnh \(O\) hai góc bằng nhau nhưng nằm ở hai phía đối nhau của giao điểm hai đường thẳng.

Vì vậy, hai tia \(O m\) và \(O n\) nằm trên cùng một đường thẳng nhưng ngược hướng nhau.

a) Chứng minh \(A A^{'} / / B B^{'}\)

Vì \(x y / / x^{'} y^{'}\) nên \(\hat{x A B} = \hat{A B y^{'}}\).

Tia \(A A^{'}\) là tia phân giác của \(\hat{x A B}\) nên tia \(A A^{'}\) tạo với đường \(A B\) một góc bằng \(\frac{1}{2} \hat{x A B}\).

Tia \(B B^{'}\) là tia phân giác của \(\hat{A B y^{'}}\) nên tia \(B B^{'}\) tạo với đường \(A B\) một góc bằng \(\frac{1}{2} \hat{A B y^{'}}\).

Vì \(\hat{x A B} = \hat{A B y^{'}}\), nên hai góc mà \(A A^{'}\) và \(B B^{'}\) tạo với \(A B\) bằng nhau.
Do đó \(A A^{'} / / B B^{'}\).a) Chứng minh \(A A^{'} / / B B^{'}\)

Vì \(x y / / x^{'} y^{'}\) nên \(\hat{x A B} = \hat{A B y^{'}}\).

Tia \(A A^{'}\) là tia phân giác của \(\hat{x A B}\) nên tia \(A A^{'}\) tạo với đường \(A B\) một góc bằng \(\frac{1}{2} \hat{x A B}\).

Tia \(B B^{'}\) là tia phân giác của \(\hat{A B y^{'}}\) nên tia \(B B^{'}\) tạo với đường \(A B\) một góc bằng \(\frac{1}{2} \hat{A B y^{'}}\).

Vì \(\hat{x A B} = \hat{A B y^{'}}\), nên hai góc mà \(A A^{'}\) và \(B B^{'}\) tạo với \(A B\) bằng nhau.
Do đó \(A A^{'} / / B B^{'}\).

b) Chứng minh \(\hat{A A^{'} B} = \hat{A B^{'} B}\)

Tia \(A A^{'}\) là tia phân giác của \(\hat{x A B}\) nên

\(\hat{A A^{'} B} = \frac{1}{2} \hat{x A B} .\)

Tia \(B B^{'}\) là tia phân giác của \(\hat{A B y^{'}}\) nên

\(\hat{A B^{'} B} = \frac{1}{2} \hat{A B y^{'}} .\)

Vì \(x y / / x^{'} y^{'}\) nên \(\hat{x A B} = \hat{A B y^{'}}\).

Suy ra:

\(\hat{A A^{'} B} = \frac{1}{2} \hat{x A B} = \frac{1}{2} \hat{A B y^{'}} = \hat{A B^{'} B} .\)