Các góc của tam giác \(A B C\) là:

\(\boxed{\angle A C B = 90^{\circ} , \angle A B C = 30^{\circ} , \angle B A C = 60^{\circ}}\)

👉 Tam giác \(A B C\) là tam giác vuông tại \(C\), có góc \(30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}\).

a) Chứng minh

\(\frac{O A^{'}}{O A} = \frac{O B^{'}}{O B}\)

Chứng minh

• Vì \(A \in \left(\right. O ; R \left.\right)\), \(A^{'} \in \left(\right. O ; r \left.\right)\) nên:

\(O A = O B = R , O A^{'} = O B^{'} = r\)

• Do đó:

\(\frac{O A^{'}}{O A} = \frac{r}{R} , \frac{O B^{'}}{O B} = \frac{r}{R}\)

⇒

\(\frac{O A^{'}}{O A} = \frac{O B^{'}}{O B}\)

✅ Kết luận ý a: điều phải chứng minh là đúng.

b) Chứng minh \(A B \parallel A^{'} B^{'}\)

Xét tam giác \(O A B\)

• Điểm \(A^{'}\) nằm trên tia \(O A\) sao cho:

\(\frac{O A^{'}}{O A} = \frac{r}{R}\)

• Điểm \(B^{'}\) nằm trên tia \(O B\) sao cho:

\(\frac{O B^{'}}{O B} = \frac{r}{R}\)

• Từ ý a), ta có:

\(\frac{O A^{'}}{O A} = \frac{O B^{'}}{O B}\)

Áp dụng định lý Ta-lét (đảo)

Trong tam giác \(O A B\), nếu:

• \(A^{'} \in O A\), \(B^{'} \in O B\)
• \(\frac{O A^{'}}{O A} = \frac{O B^{'}}{O B}\)

thì:

\(A^{'} B^{'} \parallel A B\)

✅ Kết luận ý b:

\(\boxed{A B \parallel A^{'} B^{'}}\)

1) Chứng minh bốn điểm \(A , B , C , D\) cùng thuộc một đường tròn

• Trong hình chữ nhật:
  \(\angle B A D = 90^{\circ} , \angle B C D = 90^{\circ}\)
• Hai góc đối của tứ giác \(A B C D\) có tổng:
  \(\angle B A D + \angle B C D = 180^{\circ}\)

👉 Theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
Nếu một tứ giác có hai góc đối bù nhau thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.
2) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật

Nhận xét quan trọng

• Với hình chữ nhật, tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm hai đường chéo.
• Đường kính của đường tròn ngoại tiếp bằng độ dài đường chéo của hình chữ nhật.

Tính độ dài đường chéo \(A C\)

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \(A D C\):

\(A C = \sqrt{A D^{2} + C D^{2}} = \sqrt{18^{2} + 12^{2}} = \sqrt{324 + 144} = \sqrt{468} = 6 \sqrt{13} \&\text{nbsp};(\text{cm})\)

Tính bán kính \(R\)

\(R = \frac{A C}{2} = \frac{6 \sqrt{13}}{2} = 3 \sqrt{13} \&\text{nbsp};\text{cm}\)

• a)
  \(C A = D A = 6 \textrm{ } \text{cm} , C B = D B = 4 \textrm{ } \text{cm}\)
• b)
  Điểm \(I\) không phải là trung điểm của đoạn \(A B\).
• c)
  \(I K = 2 \textrm{ } \text{cm}\)

a) Cách tìm điểm \(N\) đối xứng với điểm \(M\) qua tâm \(O\)

Cách làm:

• Nối \(O M\).
• Trên tia đối của tia \(O M\), lấy điểm \(N\) sao cho:

\(O N = O M\)

Giải thích:

• Phép đối xứng tâm \(O\) biến mỗi điểm \(M\) thành điểm \(N\) sao cho \(O\) là trung điểm của đoạn \(M N\).
• Vì \(M\) nằm trên đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) nên \(O M = R\).
• Do đó \(O N = R\) ⇒ \(N\) cũng nằm trên đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\).

✅ Kết luận:

Điểm \(N\) là điểm đối diện với \(M\) qua tâm \(O\) trên đường tròn.

b) Cách tìm điểm \(P\) đối xứng với điểm \(M\) qua đường thẳng \(A B\)

Cách làm:

• Qua điểm \(M\), kẻ đường thẳng vuông góc với \(A B\), cắt \(A B\) tại điểm \(H\).
• Trên đường thẳng đó, lấy điểm \(P\) sao cho:

\(H M = H P\)

Giải thích:

• Phép đối xứng trục qua đường thẳng \(A B\) biến điểm \(M\) thành điểm \(P\) sao cho \(A B\) là đường trung trực của đoạn \(M P\).
• Vì \(A B\) là đường kính của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), nên trục đối xứng của đường tròn.
• Do đó điểm \(P\) cũng nằm trên đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\).

✅ Kết luận:

Điểm \(P\) là ảnh của điểm \(M\) qua phép đối xứng trục \(A B\).

• a) Điểm \(A\) di động trên đường tròn tâm \(B\), bán kính \(4\) cm.
• b) Trung điểm \(M\) của \(A C\) di động trên một đường tròn (bán kính \(2\) cm).

• a) \(O M\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(A B\).
• b) Khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(A B\) là \(3\) cm.

Đường tròn \(\left(\right. C ; 2 \textrm{ } \text{cm} \left.\right)\) đi qua cả hai điểm \(O\) và \(A\) vì \(C O = C A = 2 \textrm{ } \text{cm}\).